傅里叶级数：把方波堆出来
在正弦波与「叠加」中，我们手动叠加正弦得到复杂波。反过来：给定一个周期信号（方波、锯齿、三角……），能不能算出「该用哪些正弦、各占多少」？能——这就是傅里叶级数。任何「足够规矩」的周期函数都能写成：
f(x) = a₀ + Σₖ≥₁ ( aₖ cos(kx) + bₖ sin(kx) )
系数 不是凑的，而是用积分「投影」算出来的(这个投影的几何意义见旋转的向量：复指数 e^(iθ))。这里先直接用算好的系数，看加进越来越多谐波时，部分和怎样一步步逼近目标波形。
选一个目标波形，拖谐波个数 N:粗紫线是前 N 个谐波的部分和，灰虚线是理想目标。下面的频谱柱是每个谐波的系数大小——这正是该信号在「频率轴」上的样子，是 DFT 谱的连续版前身。
Gibbs 现象：角点处的「过冲」永不消失。 盯住方波 / 锯齿的跳变边沿——部分和总会冲过头约 9%（准确说是 8.95% 的跳变高度），再振铃几下才稳定。把 N 拉到 40 也一样：过冲高度不降，只是越来越窄、越贴近边沿。这是「用连续的正弦去拼不连续的跳变」的固有代价，在音频去高频、JPEG 块边缘的振铃伪影里都能见到它。
为什么三角波收敛得快得多？ 方波系数按 1/k 衰减，三角波按
——后者高频掉得快得多，所以寥寥几项就很平滑、也没有 Gibbs 过冲。系数衰减的快慢 = 信号的光滑程度：越光滑的信号，高频越少。这条直觉贯穿整个傅里叶分析。