函数的概念：定义域、对应关系与值域

函数(function)把一个非空数集里的每个元素，对应到另一个数集里唯一确定的元素。课本的定义有三个要件：定义域是自变量 $x$ 允许取的全部值组成的集合，对应关系是「由 $x$ 求出 $f(x)$」的那条规则，值域是全部函数值组成的集合。定义域与对应关系一经给定，值域就随之确定，所以确定一个函数只需要前两者；反过来，解析式相同而定义域不同的两条规则，是两个不同的函数。

1 · 对应关系的三种表示

解析式把规则写成算式，图象把全部数对 $(x, f(x))$ 画成平面上的点集，表格列出若干具体的输入与输出。三者指向同一个对应关系，完备程度却不同：解析式与图象覆盖整个定义域，表格只给出有限个点，从一张表格反推解析式并不唯一。教材同时保留三种表示，是因为它们各自擅长的场合不同——解析式便于代入计算，图象便于看整体趋势，表格则是实测数据唯一能有的形态。

判断一个平面图形是不是某个函数的图象，用竖直线判别法(vertical line test)：任何一条竖直直线与该图形至多交于一点。这条判据是「一个 $x$ 只允许对应一个 $f(x)$」的几何翻译。

2 · 分段函数与端点归属

分段函数(piecewise function)在定义域的不同子区间上换用不同的解析式。它仍然是一个函数，而不是几个函数拼在一起：每个 $x$ 只落进一段，得到的函数值依旧唯一。写分段函数时必须交代每一段的端点归属。取 $f(x) = x + 2$ 于 $x < 1$、$f(x) = x^2$ 于 $x \ge 1$，则 $x = 1$ 归后一段，$f(1)$ 是 1 而不是 3。图上用实心点表示端点属于该段，空心点表示不属于。

3 · 定义域的书写与省略

课本有一条排版约定：只给出解析式而不另行说明时，定义域取使解析式有意义的全部实数。$f(x) = \sqrt{x - 1}$ 于是要求 $x \ge 1$，$f(x) = 1 / (x - 2)$ 要求 $x \ne 2$。约定省的是笔墨，不是要件——一旦题目另给区间，就以题目给的为准。

$y = x$ 与 $y = x^2 / x$ 的解析式化简之后写法相同，前者的定义域是全体实数，后者不含 0，两者是不同的函数。同理，值域随定义域而变：$y = x^2$ 在全体实数上的值域是 $[0, +\infty )$，限制到 $[-2, 3]$ 之后是 $[0, 9]$，而限制到 $[1, 3]$ 之后是 $[1, 9]$。

4 · 参考文献

1. Function (mathematics). Wikipedia. 函数的定义、三个要件与竖直线判别法。https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)
2. Domain of a function. Wikipedia. 定义域的约定，含只给解析式时的默认取法。https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_of_a_function
3. Piecewise function. Wikipedia. 分段函数的写法与端点归属。https://en.wikipedia.org/wiki/Piecewise_function