transform · f(x − a) · A f(ωx) · |f(x)|

图象变换：平移、伸缩与对称

已知一条曲线，把它整体挪动、拉伸或翻折，所得的新曲线与原曲线共享全部形状信息，只是位置与比例不同。这类操作都可归入两组：作用在自变量 $x$ 上的横向变换，与作用在函数值 $f(x)$ 上的纵向变换。区分二者只需看参数写在括号内还是括号外，而两组变换的方向规则恰好相反。

1 · 平移量的符号与方向

y = f(x − a) · y = f(x) + b

$y = f(x - a)$ 的图象，是把 $y = f(x)$ 向右平移 $a$ 个单位。符号与方向相反这一点常被记反，根源在于变换作用的对象是自变量：新图象在 $x_0 + a$ 处取的值等于原图象在 $x_0$ 处的值，整条曲线便向右挪了 $a$ 。纵向平移没有这重转折， $y = f(x) + b$ 就是向上平移 $b$ ，符号与方向一致。

2 · 伸缩系数的作用方向

$y = A f(x)$ 把每个纵坐标乘以 $A$ ： $|A| > 1$ 为纵向拉伸， $0 < |A| < 1$ 为纵向压缩。 $y = f(\omega x)$ 把每个横坐标除以 $\omega$ ： $\omega > 1$ 时图象横向压缩到原来的 $1 / \omega$ 。同样是「乘一个大于 1 的数」，纵向的结果是拉伸而横向的结果是压缩，差别仍然来自「横向的乘法落在自变量上」。

伸缩与平移不可交换。 $y = f(2(x - 1))$ 与 $y = f(2x - 1)$ 是两条不同的曲线：前者把 $y = f(2x)$ 右移 1，后者只右移 $1/2$ ，因为 $2x - 1 = 2(x - 1/2)$ 。本页的 lab 固定采用「先按 $\omega$ 伸缩、再右移 $h$ 」这一种次序，合成结果写作 $y = A f(\omega(x - h)) + k$ ；换成另一种次序，平移量须折算成 $h / \omega$ 才等价。

图 2-1 · 灰虚线是原图象 y = f(x)，实线是变换后的图象。可调平移量 h 与 k、伸缩系数 A 与 ω，并切换三个对称开关，读数栏给出合成后的解析式。

3 · 对称与绝对值

$y = f(-x)$ 把图象关于 y 轴翻折， $y = -f(x)$ 关于 x 轴翻折，两者复合成的 $y = -f(-x)$ 关于原点中心对称。这三条与奇偶性是同一件事的两种说法：偶函数正是翻折后与自身重合的那一类。

$y = |f(x)|$ 不是把整条曲线翻折，而是只把 x 轴下方的部分翻上去、上方的原样保留，所得图象不会落到 x 轴以下。绝对值排在平移之后还是之前，结果不同： $|f(x)| + k$ 先翻折再上移，可能落到 x 轴下方； $|f(x) + k|$ 先上移再翻折，不可能。

把变换参数回显成表达式时踩过一处： $\omega$ 与「关于 y 轴翻折」同时开启，早先的实现直接把系数拼在 $-x$ 前面，输出 f(2-x)。这个字符串读作 $f(2 - x)$ ，与它要表达的 $f(2 \cdot (-x))$ 不是同一个函数。改法是按 $\omega \cdot (-x) = -\omega x$ 展开成 f(-2x)，functions/core/analysis.test.ts 里留了这条用例。只有 $h \ne 0$ 时才需要括号，此时输出形如 f(2(-x - 1))。

4 · 参考文献

Transformation (function). Wikipedia. 平移、伸缩与反射对图象的作用。https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_(function)
Translation (geometry). Wikipedia. 横向平移的符号与方向为何相反。https://en.wikipedia.org/wiki/Translation_(geometry)
Function composition. Wikipedia. 变换复合不可交换，以及次序对平移量的折算。https://en.wikipedia.org/wiki/Function_composition