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函数 · 从概念到零点与增长速度

函数(function)给每个自变量 x 指定唯一的函数值 f(x)，它的图象是平面上一条曲线。本系列不停留在描点画图，而是围绕三个问题展开：其一，确定一个函数需要交代哪些要件，同一个对应关系有哪几种表示？其二，一条曲线整体有哪些可被精确定义的性质？其三，高中最常见的几类函数各自呈现何种形态，把方程改叙为函数之后又能做什么？

开篇是函数的概念与图象变换——定义域、对应关系与值域三者如何共同确定一个函数，平移、伸缩与对称如何由参数写在括号内还是括号外来区分。中段讲函数的性质：单调性刻画「随 x 增大，函数值是升还是降」，奇偶性刻画「图象关于 y 轴还是原点对称」，最值则要求上界被某个自变量真正取到。随后逐个走过三类基本初等函数：幂函数 y = x^α、指数函数 y = aˣ，以及把指数函数关于直线 y = x 反射得到的对数函数 y = log_a x，中间穿插它们所依赖的指数与对数运算法则。收尾回到方程：零点即方程的根即图象与 x 轴的交点，二分法把零点存在定理变成可执行的步骤；而指数、幂、对数三者的增长快慢，在有限区间内常与「最终次序」相反。

函数的概念 · 定义、表示与图象变换

确定一个函数只需定义域与对应关系，值域随之而定。同一个对应关系有解析式、图象、表格三种表示；把已知曲线平移、伸缩或翻折，得到的新曲线与原曲线共享全部形状信息——横向的量作用在括号内、方向与符号相反，纵向的量作用在括号外、方向与符号一致。

function · 定义域 → 对应关系 → 值域

函数的概念：定义域、对应关系与值域

定义域与对应关系一经给定，值域随之确定，故确定一个函数只需前两者。解析式、图象与表格是同一个对应关系的三种表示，分段函数在不同子区间上换用不同公式。

 transform · f(x − a) · A f(ωx) · |f(x)|

图象变换：平移、伸缩与对称

横向的量作用在括号内，方向与符号相反；纵向的量作用在括号外，方向与符号一致。伸缩与平移的先后次序不可交换，写成解析式时须把平移量折算。

 函数的性质 · 单调性、奇偶性与最值

不依赖具体表达式，只看图象整体：函数值随自变量增大是升还是降（单调性），图象关于 y 轴还是原点对称（奇偶性），以及上下界是否被某个自变量取到（最值）。三者都由「在定义域上任取点作比较」的定义给出。

monotonic · 任取 x1<x2x_1 < x_2 比较 f(x1)f(x_1) 与 f(x2)f(x_2)

单调性：随 x 增大，函数值升还是降

单调性由区间内任取两点的函数值比较定义，「任取」是关键：递增不是有时升，而是每一对点都满足。单调区间不能求并，采样也无法证明单调。

 parity · f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) 或 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

奇偶性：图象关于 y 轴还是原点对称

定义域关于原点对称是前提。f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) 为偶函数、图象关于 y 轴对称；f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) 为奇函数、图象关于原点对称。奇函数若在原点有定义则必过原点。

 extrema · 上界被取到才是最值

最大值与最小值：定义与存在性

最值要求存在定义域内的某个自变量把这个界取到，仅仅是上界或下界并不够。闭区间上的连续函数必有最值，改成开区间后可能一个都没有。

 基本初等函数 · 幂 / 指 / 对

高中的基本初等函数里，幂、指、对三类最能体现「参数如何决定图象」。注意区分幂函数 y = x^α（底是自变量、指数是常数）与指数函数 y = aˣ（底是常数、指数是自变量），再看对数函数如何作为指数函数的反函数出现；分数指数幂与对数运算法则是这三类函数共用的代数底座。

power function · y=xαy = x^\alpha

幂函数 y=xαy = x^\alpha：底是自变量

幂函数以自变量为底、指数为常数。α\alpha 的取值决定定义域、奇偶性与正半轴上的单调性；负底数配分数指数处的口径分歧，是本页与运算规则那一页必须对齐的一处。

 exponent · logarithm · 换底公式

指数与对数的运算

分数指数幂把根式并入幂的记号，三条幂运算法则由此覆盖全体有理指数。对数把乘除降为加减，换底公式让任意底的对数都能由一种底算出。

 exponential · y=axy = a^x · a>0, a≠1a > 0,\ a \ne 1

指数函数 y=axy = a^x：底是常数

指数函数以常数为底、自变量为指数，底须为正且不等于 1。曲线恒过 (0,1)(0, 1)，值域为正实数，x 轴是水平渐近线；这条「值域为正」在双精度下并不成立。

 logarithm · y=log⁡axy = \log_a x · axa^x 的反函数

对数函数 y=log⁡axy = \log_a x：指数函数的反函数

对数函数是同底指数函数的反函数，图象关于直线 y=xy = x 对称，定义域为正实数，曲线恒过 (1,0)(1, 0)。换底公式在数学上是恒等式，浮点下并不逐位成立。

指数与对数：互为反函数的一对

指数函数 y = aˣ 与对数函数 y = log_a x（同一个底 a）互为反函数：前者把 x 送到 aˣ，后者把它送回来，log_a(aˣ) = x、a^(log_a x) = x。反函数在几何上表现为图象关于直线 y = x 对称，定义域与值域也随之互换——指数函数值域 (0, +∞) 正是对数函数的定义域。这也是两条曲线都关于 y = x 对称分布的原因。 函数与方程 · 零点、增长与建模

把方程 f(x) = 0 改叙成函数问题：零点、方程的根与图象和 x 轴交点是同一批数。零点存在定理只给存在性，二分法把它变成每步区间减半的求解步骤。末了比较增长快慢——指数终将超过幂、幂终将超过对数，但「终将」之前的有限区间里次序常常反过来。收尾一页把函数用出去：选模型族靠半对数与双对数坐标，参数由最小二乘定，而这条曲线能外推到多远由数据覆盖到哪里决定。

zero · 零点存在定理 · bisection

函数的零点与二分法

函数的零点、方程的根与图象和 x 轴交点是同一件事的三种说法。零点存在定理只给存在性，二分法把存在性变成可执行的求解步骤，每迭代一次区间减半。

 growth · aˣ 终将超过 xⁿ

增长速度：指数、幂与对数的快慢

x 趋于正无穷时，指数函数终将超过任意幂函数，幂函数又终将超过对数函数。但在有限区间内次序常常反过来，反超点的位置随底与次数剧烈变化。

 model · 半对数判据 · logistic

函数模型：从数据到可外推的曲线

建模的关键一步是选模型族而不是凑参数。半对数与双对数坐标把指数族与幂族拉成直线，给出可目视的判据；阶梯计价的分段函数必须连续，否则会出现多赚一元反而少拿的断崖；离开数据区间后，内插几乎重合的两族模型会分岔到相差一个数量级。

「终将超过」不等于「一直超过」

aˣ 终将超过 xⁿ 是渐近结论，它只断言存在一个分界点，对分界点的位置只字未提。实测几组交点：2ˣ 与 x² 交于 2 与 4（区间 (2, 4) 上反而是幂函数在上，x = 3 处 8 < 9）；2ˣ 与 x⁴ 的第二个交点恰是 16，因为 2¹⁶ = 65536 = 16⁴；底降到 1.5、幂次升到 5，分界点推到 47.6。对数一侧更极端：log₂ x 要到 x ≈ 5.69 × 10⁶ 才被 x^0.2 反超。

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概念与性质

基本初等函数与运算

零点、增长与建模