函数的零点与二分法

使 $f(x) = 0$ 成立的实数 $x$ 称为函数 $f$ 的零点。它是一个数，不是一个点，这一点在书写上常被混淆。零点、方程 $f(x) = 0$ 的实数根、函数图象与 x 轴交点的横坐标，三者指的是同一批数；把方程问题改叙为函数问题之后，求根就可以借助图象与连续性来做。

1 · 零点与方程的根

方程 $x^3 + x - 1 = 0$ 无求根公式，但函数 $f(x) = x^3 + x - 1$ 的图象与 x 轴有且只有一个交点。判断交点个数往往比解出根容易：把方程整理成 $g(x) = h(x)$ 的形式，交点个数就是两条曲线的交点个数。$2^x + 3x - 7 = 0$ 改写成 $2^x = 7 - 3x$ 后，左侧递增而右侧递减，两条曲线至多交一次，可知原方程恰有一个实数根。

2 · 零点存在定理

定理给的是存在性，不给个数，也不给位置。$f(a) \cdot f(b) < 0$ 只保证区间内至少有一个零点，实际可以有三个甚至更多；而 $f(a) \cdot f(b) > 0$ 时区间内可以没有零点，也可以有两个。连续这个条件同样不能省：$f(x) = 1/x$ 在 $[-1, 1]$ 上两端异号却没有零点，$x = 0$ 处的间断使定理不适用。

3 · 二分法的迭代与精度

有了变号区间，求近似解就成了机械步骤：取中点 $m$，算 $f(m)$，用 $m$ 替换掉与它同号的那个端点，区间随之减半。$k$ 次迭代之后区间长度是初始长度的 $2^{-k}$，这个上界与函数的形状无关，只取决于初始区间的长度。

以 $f(x) = x^3 + x - 1$ 在 $[0, 1]$ 上为例，实跑 bisectSteps 的结果是：4 次迭代后中点 0.6875，与真值相差 $5.2 \times 10^{-3}$；14 次后区间长 $6.1 \times 10^{-5}$，中点 0.6823120，误差 $1.6 \times 10^{-5}$；24 次后误差降到 $3.1 \times 10^{-9}$。误差并不严格随区间长度同步下降——区间长度是确定的等比数列，而中点到真根的距离是它的一个上界，实际值在这个上界之下摆动。

二分法的收敛是线性的：每迭代一次多确定约 $\log_{10} 2 \approx 0.30$ 位十进制有效数字，要多拿一位需要 3 到 4 次迭代。它的价值不在速度，而在只依赖连续性与一次符号比较，对函数的可导性不作任何要求。

4 · 参考文献

1. Zero of a function. Wikipedia. 零点、方程的根与图象交点三种说法的对应。https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_of_a_function
2. Intermediate value theorem. Wikipedia. 零点存在定理的一般形式与连续性条件。https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem
3. Bisection method. Wikipedia. 二分法的迭代格式、收敛阶与误差上界。https://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method