对数函数 $y = \log_a x$：指数函数的反函数

对数函数（logarithmic function）$y = \log_a x$ 是指数函数 $y = a^x$ 的反函数（$a > 0$ 且 $a \ne 1$）。指数函数把 $x$ 送到 $a^x$，对数函数把它送回来，两条互逆的等式是 $\log_a(a^x) = x$ 与 $a^{\log_a x} = x$。

1 · 反函数关系与图象的镜像

互为反函数在几何上表现为图象关于直线 $y = x$ 对称：指数曲线上的点 $(x, a^x)$ 与对数曲线上的点 $(a^x, x)$ 横纵坐标互换，两点关于 $y = x$ 互为镜像。

定义域与值域随之互换。指数函数的定义域是 $\mathbb{R}$、值域是 $(0, +\infty)$，对数函数正好反过来：定义域 $(0, +\infty)$、值域 $\mathbb{R}$。真数必须为正这一条不是额外规定，而是由 $a^x$ 恒为正推出来的。对数曲线恒过定点 $(1, 0)$，对应指数曲线过 $(0, 1)$。

单调方向则不互换，两者一致：$a > 1$ 时同为递增，$0 < a < 1$ 时同为递减。这是因为反函数保持单调方向——把图象沿 $y = x$ 翻转不改变「升」还是「降」。

常用的底有两个：$10$ 记作 $\lg$，自然底 $e$ 记作 $\ln$。有了换底公式，任何底的对数都能由这两者算出，所以计算器只需提供这两个键。

2 · 换底公式在浮点下不是恒等式

换底公式 $\log_a N = \log_c N / \log_c a$ 在数学上是恒等式，两端是同一个实数。浮点下不是：等式两端走的是不同的计算路径，各自的舍入没有理由抵消。

最短的例子是 $\log_{10} 1000$。原生实现 Math.log10(1000) 返回精确的 3，而按换底公式算的 Math.log(1000) / Math.log(10) 返回 2.9999999999999996，差一个 ulp。这个差别足以让 Math.log(1000) / Math.log(10) === 3 为假，而这条判等在「求 $1000$ 是 $10$ 的几次幂」这类整数问题里是会被写出来的。

偏差的多寡与底有关，实测差得很远。取 $2$ 的幂 $2^k$（$k$ 从 $1$ 到 $60$），Math.log2 全部 $60$ 个都返回精确的整数，而换底算法有 $8$ 个不精确，最大误差 $7.11 \times 10^{-15}$，出现在 $k = 39$。换成 $3$ 的幂 $3^k$（$k$ 从 $1$ 到 $40$），换底算法有 $32$ 个不精确，比例从 $13\%$ 跳到 $80\%$（node v26.6.0）。

3 · 参考文献

1. Logarithm. Wikipedia. 对数的定义、运算法则与换底公式。https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm
2. Inverse function. Wikipedia. 反函数的定义、图象对称与单调方向的保持。https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function
3. Math.log2. MDN. 单列 $2$ 为底的对数方法及其精度理由。https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Math/log2