N = m(g ± a)

受力分析：超重与失重

站在电梯里的体重计上，指针读出的从来不是重力，而是地板对脚的支持力——这个读数叫视重（apparent weight）。人随电梯一起加速时，对人这一个物体做受力分析：竖直方向只有重力 $mg$ （向下）与支持力 $N$ （向上）两个力，取向上为正，牛顿第二定律给出

N - mg = ma \quad\Longrightarrow\quad N = m(g + a)

$a$ 是电梯（也是人）的加速度，向上为正、向下为负。这一页只讨论竖直方向的加减速，不涉及电梯启停时的水平晃动。

1 · 电梯模型里的四种情形

把 $a$ 代进 $N = m(g+a)$ ，四种常见情形一次列全：电梯加速上升或减速下降时 $a>0$ ， $N>mg$ ，读数比平时重，这是超重（overweight）；电梯减速上升或加速下降时 $a<0$ ， $N<mg$ ，读数比平时轻，这是失重（underweight）；电梯匀速运动（包括静止）时 $a=0$ ， $N=mg$ ，读数与平时一样； $a=-g$ 时 $N=0$ ，体重计读数归零，这是完全失重（weightlessness），只是自由落体的一个特例，绳索突然断裂的轿厢正是这种状态。

图 1-1 · 电梯加速度与体重计瞬时读数。可调乘客质量与加速度

a

（取向上为正），观察

N = m(g+a)

相对

mg

基线的涨落。

警示 · 公式 $N=m(g+a)$ 在 $a<-g$ 时会算出负值，但支持力不能为负——地板只能向上推，不能向下拉人。真实情形是 $a<-g$ 意味着地板下坠得比人还快，人已经离开了地板，体重计根本没有接触，这时读数不是负数而是无意义。图 1-1 的实现在 $a\le -g$ 时把结果钳在 $0$ ，这只是「不显示荒谬的负数」，不是在模拟人真的离开地板之后会发生什么。

2 · 一次运行剖面里的超重与失重

一次典型的上升过程分三段：先加速把速度从 $0$ 提到额定速度（超重），再匀速运行（读数正常），最后减速把速度降回 $0$ （失重）。三段用的是同一个加速度大小，只是前一段方向向上、后一段方向向下，全程读数先高于 $mg$ 、回落到 $mg$ 、再低于 $mg$ ，呈一条阶梯状的 $N$ - $t$ 曲线，而不是连续渐变的曲线——每一段内部电梯的加速度视为恒定，只在三段交界处发生突变。

图 2-1 · 一次上升运行剖面的

N

t

曲线，标出超重与失重区间。可调加速度大小与已运行时间，读出各阶段对应的读数。

从头到尾，图 2-1 里唯一变化的量是支持力 $N$ ；重力 $mg$ 是一条不动的水平基线，图中的「涨落」全部来自地板给人的支持力，不来自重力本身的变化。这也是「超重」「失重」这两个词容易引起的误解：超重指的是视重的变化，物理学意义上的重力从未超过或不足它原本的大小。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 5. Wiley.
Apparent weight. Wikipedia. 视重在加速参考系下的一般公式，电梯是其中竖直方向的特例。https://en.wikipedia.org/wiki/Apparent_weight