静摩擦的上限 · 休止角

摩擦力

力与运动里合成的都是给定的力。摩擦力不同：它的大小往往不是题目给的，而是要由运动状态反过来定。这一点让它成为受力分析中最容易写错的一项，本页先把「静摩擦力等于什么」这件事说清，再处理滑动摩擦以及两者交界处的那一次跌落。

1 · 静摩擦力的大小不由公式给出

一个静止的物块受水平拉力 $F$ 而不动，说明水平方向合力为零，摩擦力必然等于 $F$ ——多大的拉力配多大的摩擦力，这是平衡条件的直接推论。 $F$ 增大到某个值时物块开始滑动，那个值就是最大静摩擦力（maximum static friction）

f_{\max} = \mu_sN

$\mu_s$ 是静摩擦系数， $N$ 是正压力。要紧的是这条式子只给上限： $F<f_{\max}$ 时静摩擦力等于 $F$ 而不等于 $\mu_sN$ 。把 $\mu_sN$ 直接当成静摩擦力代进方程，是这一带最常见的错误，它会让一个静止的物块凭空得到一个合力。

取 $m=2$ kg、 $\mu_s=0.5$ ，core/friction.ts 给出 $N=19.6$ N、 $f_{\max}=9.8$ N。 $F=3$ N 时摩擦力是 $3$ N， $F=6$ N 时是 $6$ N， $F=9.8$ N 时恰好是 $9.8$ N 并处在滑动的临界点上。

2 · 滑动摩擦与那一次跌落

物块滑动后摩擦力改由另一条式子给出

f = \mu_kN

$\mu_k$ 是动摩擦系数。这条式子是等式而非上限，且滑动摩擦力与接触面积、与滑动速度都无关——这是库仑摩擦模型的两条近似，在中等压强与中等速度下与实验吻合得相当好。

绝大多数材料对 $\mu_k<\mu_s$ 。上面那组参数取 $\mu_k=0.35$ ，滑动摩擦力是 $6.86$ N，比最大静摩擦少 $2.94$ N，跌落了 $30\%$ 。跌落带来一个突变： $F=9.8$ N 时物块还静止、合力为零； $F=9.81$ N 时物块滑动、摩擦力跌到 $6.86$ N，合力一跃为 $2.95$ N，加速度从零跳到 $1.4750$ m/s²。推重物时「一推不动，一动就窜」说的正是这个跳变，机床与提琴弦上的粘滑振动（stick-slip）也源于此。

图 2-1 · 判据图，两种情形共用。水平拉动模式下横轴是拉力，静止段是

45°

斜线、越过上限后跌到

\mu_kN

；斜面模式下横轴是倾角，两条线的交点即休止角。可调两个摩擦系数观察跌落幅度与交点位置。

3 · 休止角

斜面上静止释放一个物块，沿斜面向下的重力分量 $mg\sin\theta$ 是驱动力，摩擦力的上限是 $\mu_sN=\mu_smg\cos\theta$ 。倾角增大时前者上升、后者下降，两者相等处即物块开始下滑的临界倾角：

mg\sin\theta_c = \mu_smg\cos\theta_c \implies \tan\theta_c = \mu_s

$m$ 与 $g$ 都约掉了。 $\mu_s=0.5$ 给出 $\theta_c=26.5651°$ ，与物块多重、在地球还是月球上都无关。实测核对： $\theta=26.5°$ 时驱动力 $8.745$ N 小于上限 $8.770$ N，物块静止； $\theta=26.6°$ 时驱动力 $8.776$ N 超过上限 $8.763$ N，物块下滑，加速度 $g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)=1.3211$ m/s²。

这条关系反过来用，就成了一种测量手段。散粒物料自然堆成的锥面倾角（休止角，angle of repose）满足同一条式子，量出坡角即可反推颗粒之间的静摩擦系数——不需要测力计，只需要量角器。

4 · 斜拉的最省力角度

要拖动一个物块，往斜上方拉比水平拉省力。原因不在于「分了一部分力去抬」，恰恰相反：斜拉让正压力降到 $N=mg-F\sin\alpha$ ，摩擦力随之减小。代价是拉力的水平分量只有 $F\cos\alpha$ ，抬得越陡浪费越多。两个相反的效应给出一个最优角。

维持匀速滑动的条件是 $F\cos\alpha=\mu_k(mg-F\sin\alpha)$ ，解出

F(\alpha) = \frac{\mu_kmg}{\cos\alpha + \mu_k\sin\alpha}

分母在 $\tan\alpha=\mu_k$ 处取到最大，故所需拉力在 $\alpha=\arctan\mu_k$ 处最小。 $\mu_k=0.35$ 给出最优角 $19.2900°$ ，此时需 $6.4749$ N，而水平拉需 $6.8600$ N，省了 $5.61\%$ 。

省下的这几个百分点比预想的少。做这一页之前估计斜拉能省一两成，算出来只有 $5.61\%$ ；把 $\mu_k$ 调到 $0.9$ 时最优角升到 $41.9872°$ 、省幅也才 $25.67\%$ ，而 $\mu_k=0.1$ 时省幅只有 $0.50\%$ 。省力的空间完全由 $\mu_k$ 决定：极限情形下 $F_{\min}/F_{\text{水平}}=1/\sqrt{1+\mu_k^2}$ ， $\mu_k$ 小的时候这个比值贴近 1。拉杆箱的拉杆做成斜的，好处主要不在省力，而在把箱子的重心拉向轮轴一侧。

图 4-1 · 上图为维持匀速滑动所需的拉力对夹角，谷底标在

\arctan\mu_k

处；下图为同一角度下的正压力。可调动摩擦系数观察最优角的移动，调质量观察谷底横坐标不动。

5 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 6. Wiley.
Persson, B. N. J. (2000). Sliding Friction: Physical Principles and Applications (2nd ed.), Chapters 1–3. Springer.
Nedderman, R. M. (1992). Statics and Kinematics of Granular Materials, Chapter 4. Cambridge University Press.