连接体与整体隔离法

力与运动处理的是单个物体。多个物体由绳或接触面连在一起时，$F=ma$ 仍然逐个成立，但联立几个方程往往绕远路。整体法与隔离法是两条互补的捷径：前者一步给出共同加速度，后者是求内力的唯一途径。本页把两者的分工说清，再用 Atwood 机核对一条容易被忽略的结论。

1 · 内力在整体法里不出现

把连在一起的几个物体当成一个对象，质量取总和，则物体之间的相互作用力全部成为内力（internal force）——它们成对出现、大小相等方向相反，在整体的合力里逐对抵消。整体的动力学方程因此只含外力：

这条式子的价值在于它绕开了内力，代价也正是这一点：方程里既然没有内力，就不可能从中解出内力。想知道绳中张力有多大，必须隔离其中一个物体单独列方程，此时那根绳的张力对它而言是外力，才会进入方程。

先用整体法定加速度、再隔离一个物体求内力，是这类问题的标准顺序。反过来做要联立两个未知量，多一步消元。

2 · 张力的分配与摩擦无关

水平面上两个物块前后相连，拉力 $F$ 作用在 $m_1$ 上，$m_2$ 被拖着走，两者的动摩擦系数同为 $\mu$。整体法给出

隔离 $m_2$，它受绳的张力 $T$ 与自己的摩擦力，得 $T=m_2(a+\mu g)$。把 $a$ 代进去，$\mu$ 项恰好抵消：

张力占拉力的比例只由质量比决定，与摩擦系数无关。core/connected.ts 在 $F=20$ N、$m_1=3$ kg、$m_2=2$ kg 下核对：$\mu$ 取 $0$、$0.2$、$0.5$ 时加速度依次是 $4.0000$、$2.0400$、$0$ m/s²，而张力全是 $8.0000$ N，$T/F$ 全是 $0.400000$。

$\mu=0.5$ 那一行暴露了一处模型边界。此时 $\mu(m_1+m_2)g=24.5$ N 超过 $F=20$ N，整体根本不动，上面那条张力式子却仍然给出 $8$ N。真实情况是：两块各自被自己的静摩擦平衡住，绳可以完全松弛，也可以事先被绷紧到任意不超过上限的值——张力是静不定的，方程不足以确定它。函数因此改成先判断能否拉动，拉不动时返回「无法确定」而不是那个假的 $8$ N。这个分支是写测试时发现的：原实现对 $\mu=0.5$ 给出负的加速度，而负加速度意味着物块在倒着走。

3 · Atwood 机与「变轻」的系统

两个物体经定滑轮由一根绳相连，绳与滑轮理想。整体法对这个装置要绕一下——两个物体的加速度方向不同，不能直接当成一个质点。改用「沿绳」的坐标：设重的一侧向下为正，两者的加速度大小相同，整体方程

隔离任一侧求张力，得 $T=\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$。$m_1=3$ kg、$m_2=2$ kg 时 $a=1.9600$ m/s²、$T=23.5200$ N。

张力既不等于 $m_1g=29.4$ N 也不等于 $m_2g=19.6$ N，而是夹在两者之间。这不是巧合：重的一侧在加速下落，说明它受的合力向下，重量必须大于张力；轻的一侧在加速上升，合力向上，张力必须大于重量。

滑轮轴承受的力是 $2T=47.04$ N，而两个物体的总重是 $49$ N。系统一旦加速，前者就小于后者，差值

上面那组参数给出 $1.9600$ N，占总重的 $4.00\%$。质量拉得越悬殊，「变轻」得越多：$m_1=10$ kg、$m_2=1$ kg 时轴承受力只有 $35.64$ N，比总重 $107.8$ N 少了 $66.94\%$。质量相等时 $a=0$，$2T$ 才回到总重，这也是唯一一种「张力等于某一侧重量」成立的情形。

把整台装置放在磅秤上，读数会在系统运转时变小——这不是错觉，是重心在加速下降。

4 · 参考文献

1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 5. Wiley.
2. Kleppner, D., & Kolenkow, R. J. (2014). An Introduction to Mechanics (2nd ed.), Chapter 3. Cambridge University Press.