a = v²/r

匀速圆周运动与向心力

物体沿一个圆周运动，若线速度大小保持不变，这种运动称为匀速圆周运动（uniform circular motion）。速度是矢量，大小不变不等于矢量不变——方向每一瞬间都在改变，而加速度正是速度矢量的变化率，因此匀速圆周运动依然存在加速度，只是这个加速度不沿运动方向，而是垂直于速度、指向圆心。

1 · 速度方向的变化与向心加速度

设物体以角速度 $\omega$ 绕圆心转动，半径为 $r$ ，某一瞬间的速度矢量 $\vec v$ 总与这一瞬间的半径垂直、指向运动前方。经过很短的时间 $\Delta t$ ，位置转过的圆心角是 $\Delta\theta=\omega\Delta t$ ，速度矢量的方向也随之转过同一个角 $\Delta\theta$ （大小不变、方向都垂直于各自半径，两条半径之间的夹角是多少，两个速度矢量之间的夹角就是多少）。两个等长、夹角为 $\Delta\theta$ 的矢量作差，差矢量的长度当 $\Delta\theta$ 很小时近似等于弧长 $v\Delta\theta$ ，方向垂直于 $\vec v$ ，指向圆心一侧。于是加速度大小

a=\lim_{\Delta t\to0}\frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t}=v\omega

代入线速度与角速度的关系 $v=\omega r$ ，得到两个等价的写法

a=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r

这就是向心加速度（centripetal acceleration）：大小由半径与角速度（或线速度）共同决定，方向始终指向圆心。角速度、线速度与周期 $T$ 的关系是 $v=\omega r=\dfrac{2\pi r}{T}$ ——转一整圈走过的弧长 $2\pi r$ 除以转一圈用的时间。

图 1-1 · 匀速圆周运动的速度与向心加速度。可调半径 r 与角速度 ω，数值栏给出当前的线速度、向心加速度、周期与向心力。

2 · 向心力的角色：由谁来充当

牛顿第二定律给出合力与加速度的关系，向心加速度既然存在，沿半径指向圆心的合力就必然存在，大小 $F=ma=mv^2/r=m\omega^2 r$ 。这个合力有一个专门的名字——向心力（centripetal force），但它不是重力、弹力、摩擦力、张力之外另添的第五种力，而是这些实际力当中的某一个、或它们的合力，在圆周几何下扮演的角色。绳系小球在水平面内转动，绳的张力独自提供向心力；汽车在水平路面上转弯，靠的是地面对轮胎的摩擦力；人造卫星绕地球运行，向心力由地球的引力单独提供；圆锥摆里则是绳的张力与重力合力的水平分量。场景换了，充当向心力的实际力跟着换，公式 $F=mv^2/r$ 本身不变。

警示 · 「向心力方向恒指向圆心」只对匀速圆周运动成立。若角速度本身也在变化（变速圆周运动），合力还会多出一个沿切向的分量，专门用来改变速率；这时合力不再单纯指向圆心，通常把它拆成向心分量与切向分量分别讨论，「向心力」这个名字此时只指前一个分量，不再是合力本身。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 4. Wiley.