物理 / 力学 · 从描述运动到万有引力 / 斜抛运动与最大射程 待审核 9 / 21
45° 最大射程

斜抛运动与最大射程

平抛运动与落地时间 §1 已经把初速度分解成两条独立的直线运动；斜抛运动（oblique projectile motion）只是把竖直方向的初速度从零换成一个非零的正值，其余推导完全沿用同一套方法。本页仍取 g=9.8g=9.8 m/s²，全程忽略空气阻力。

1 · 初速度按发射角的分解

以初速度 v0v_0、发射角 θ\theta（与水平方向的夹角）抛出，水平分量 v0cos⁡θv_0\cos\theta 全程不变，竖直分量 v0sin⁡θv_0\sin\theta 是一次初速度非零的竖直上抛。两个方向的位置随时间独立变化：

x(t)=v0cos⁡θ⋅t,y(t)=v0sin⁡θ⋅t−12gt2x(t) = v_0\cos\theta \cdot t, \qquad y(t) = v_0\sin\theta \cdot t - \frac12 g t^2

消去 tt 得轨迹方程 y=xtan⁡θ−g2v02cos⁡2θx2y = x\tan\theta - \dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2，仍是一条抛物线；θ=90°\theta=90° 时 cos⁡θ=0\cos\theta=0，水平分量消失，退化为纯竖直上抛。

图 1-1 · 斜抛运动的轨迹。可调初速度 v0v_0 与发射角 θ\theta，数值栏给出分速度、飞行时间、射程与最大高度。

2 · 射程公式与最大射程角

落回同一高度时 y=0y=0，除去 t=0t=0 的解，飞行时间 T=2v0sin⁡θgT=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}；代入 x(T)x(T) 并用二倍角公式 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta 化简，得到射程

R=v0cos⁡θ⋅T=v02sin⁡(2θ)gR = v_0\cos\theta \cdot T = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}

最大高度同样可由竖直上抛的公式直接搬来：H=(v0sin⁡θ)22gH=\dfrac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}。sin⁡(2θ)\sin(2\theta) 在 θ=45°\theta=45° 取最大值 11，此时 RR 达到峰值 v02/gv_0^2/g；又因 sin⁡(2θ)=sin⁡(180°−2θ)=sin⁡(2(90°−θ))\sin(2\theta)=\sin(180°-2\theta)=\sin(2(90°-\theta))，θ\theta 与 90°−θ90°-\theta 给出相同的射程——一个打得高而近、一个打得低而远，落点却是同一处。

core/projectile.ts 里用 v0=20v_0=20 m/s 对拍 θ=30°\theta=30° 与 60°60° 的射程：结果分别是 35.34797566467096 m 与 35.34797566467097 m，只在最后一位有效数字上相差 1.1×10−161.1\times10^{-16}——三角函数与角度转弧度的浮点运算引入的舍入误差，不是公式本身的不对称。

图 2-1 · 射程-角度关系曲线。可调初速度 v0v_0 与发射角 θ\theta，曲线标出 45° 处的峰值，虚线连接当前角与对称角 90°−θ 上的两点。

警示 · 射程公式与 45° 最优角都以忽略空气阻力为前提。真实的乒乓球或羽毛球一类高阻力物体，实际射程明显小于该公式的预测值，最优发射角也会随速度降低而小于 45°——阻力与速度平方相关，抛得越快、越偏离理想模型。

3 · 参考文献

  1. Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2018). Physics for Scientists and Engineers (10th ed.), Chapter 4. Cengage Learning.