v_min = √(gr)

圆周运动的临界问题

上一页给出了向心力的一般关系 $F=mv^2/r$ ，但没有限定哪种实际力去充当它、这个力还能提供多大。一旦某个方向上能提供的力有上限（重力不会主动变大，摩擦力受最大静摩擦力约束），圆周运动就存在一个临界速度：低于（或高于）它，原来那种受力配置就不足以维持圆周运动。

1 · 竖直圆周运动最高点的临界条件

小球（或过山车车厢）沿竖直平面内的圆形轨道运动，到达最高点时，向心方向指向正下方，与重力方向相同。设轨道能对小球施加的支持力为 $N$ （约定指向圆心为正，即轨道从外侧向内推，只能推不能拉），最高点处牛顿第二定律给出

N+mg=\frac{mv^2}{r}

解出 $N=\dfrac{mv^2}{r}-mg$ 。速度越大，所需的向心力越大，轨道要多分担的支持力 $N$ 也越大；速度越小，重力本身提供的向心力已经超出所需， $N$ 随之减小。当 $v$ 小到某个值，解出的 $N$ 恰好等于零——这意味着重力单独就足够提供向心力，轨道完全不用出力：

mg=\frac{mv_{\min}^2}{r}\ \Longrightarrow\ v_{\min}=\sqrt{gr}

速度若比 $v_{\min}$ 还小，公式解出的 $N$ 是负数。轨道只能向内推（ $N\ge0$ ），无法向外拉，负的 $N$ 没有对应的真实受力。此时小球早已离开轨道内壁，只受重力做自由落体，实际路径不再是圆弧。这个临界条件对应的是「维持圆周运动所需的向心力恰好等于重力能提供的全部」，与轨道半径 $r$ 无关的是它的形式， $v_{\min}$ 的数值却随 $r$ 变化：取 $r=5$ m、 $g=9.8$ m/s² 算出 $v_{\min}=7.0$ m/s，只有约 $25$ km/h——比日常对「维持一个 5 米大回环」需要的速度的直觉印象低不少，多数人第一次估算容易往几十米每秒猜。

图 1-1 · 竖直回环最高点的受力。可调半径 r 与最高点速度 v，数值栏给出 v_min 与当前是否满足维持圆周运动的条件。

2 · 水平转弯的临界速度：摩擦力充当向心力

汽车在水平（无倾角）路面上转弯，向心力唯一的来源是地面对轮胎的摩擦力，而静摩擦力存在上限 $\mu mg$ （ $\mu$ 是轮胎与路面间的最大静摩擦系数）。转弯所需的向心力是 $mv^2/r$ ，只要它不超过摩擦力的上限，转弯就能维持：

\frac{mv^2}{r}\le \mu mg\ \Longrightarrow\ v\le\sqrt{\mu g r}

$v_{\max}=\sqrt{\mu g r}$ 就是这一路面、这一弯道半径下的最大安全速度——超过它，所需的向心力超出摩擦力能提供的上限，车会沿切向滑出弯道而不是按圆弧转过去，这也是雨雪天气路面 $\mu$ 变小时转弯限速要更严的力学原因。与最高点的临界问题一样，本节的「临界」同样是「所需向心力恰好用满某个实际力的上限」，只是充当向心力的角色从重力换成了摩擦力。

3 · 参考文献

Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2018). Physics for Scientists and Engineers (10th ed.), Chapter 6. Cengage Learning.
Cross, R. (2018). Enhancing the physics of a roller coaster loop. Physics Education, 53(2), 025002.