物理 / 力学 · 从描述运动到万有引力 / 动量守恒与碰撞的分类 待审核 17 / 21
守恒 + 恢复系数

动量守恒与碰撞的分类

上一页处理的是单个物体受力后动量如何改变；两个物体相遇时，各自的动量都在变，但只要满足一个条件，两者之和保持不变。

1 · 动量守恒

碰撞持续的时间通常极短（球棒击球一毫秒量级，见上一页），这段时间里物体间的相互作用力远大于重力、摩擦力这类外力，外力的冲量因而可以忽略。由冲量定理，忽略外力意味着系统总动量在碰撞前后不变：

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'

这就是动量守恒。它不关心碰撞过程中力如何变化——两物体接触期间的力可能形式复杂，但只要外力可忽略，初末状态的总动量就相等，这是一条比冲量定理更强的结论，因为它不需要知道 F(t)F(t) 的具体形式。

2 · 碰撞的分类与恢复系数

动量守恒不代表动能也守恒。按动能的去留，碰撞分三类：完全弹性碰撞（动能也守恒）、完全非弹性碰撞（碰后两物体共同运动，速度相等）、以及介于两者之间的一般非弹性碰撞（部分动能转化为热或形变，但两物体未粘在一起）。

三类碰撞可以用同一个参数统一描述。恢复系数（coefficient of restitution）定义为碰后与碰前相对速度之比

e=v2′−v1′v1−v2e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}

e=1e=1 时上式与动量守恒联立解出的正是标准弹性碰撞公式；e=0e=0 时联立解出 v1′=v2′v_1'=v_2'，即碰后共同速度，对应完全非弹性碰撞；0<e<10<e<1 覆盖一般非弹性碰撞。ee 只由两物体的材料与接触方式决定，与质量、初速度无关。

3 · 一维两体碰撞模拟

给定 m1m_1、v1v_1、m2m_2、v2v_2 与 ee，动量守恒与恢复系数定义联立即可解出碰后速度：

v1′=(m1−em2)v1+(1+e)m2v2m1+m2,v2′=(m2−em1)v2+(1+e)m1v1m1+m2v_1' = \frac{(m_1-em_2)v_1 + (1+e)m_2 v_2}{m_1+m_2}, \qquad v_2' = \frac{(m_2-em_1)v_2 + (1+e)m_1 v_1}{m_1+m_2}

下方模拟按这两条公式驱动碰撞：数轴上两点靠近、相遇、按新速度分开，总动量的读数在整个过程中不变，总动能只在 e=1e=1 时不变，其余情形都减少。

图 3-1 · 一维两体碰撞。可调两物体质量与碰前速度，以及恢复系数 e；轨道展示碰撞前后的运动，数值栏对拍总动量与总动能，右侧小图给出动能损失与 e 的关系曲线。

注 · 动能损失与 ee 的关系不是线性的，而是 ΔKE=ΔKEmax⁡(1−e2)\Delta KE = \Delta KE_{\max}(1-e^2)——ΔKEmax⁡\Delta KE_{\max} 是 e=0e=0 时的损失。这条关系在默认参数下可以直接算：ee 从 00 调到 0.50.5 时损失只从 100%100\% 降到 75%75\%，直觉上「调到一半」容易被猜成损失减半，实际上只有 ee 逼近 11 时损失才快速跌向 00，多数取值区间损失下降得很慢。

4 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 9. Wiley.
  2. Cross, R. (2000). The bounce of a ball. American Journal of Physics, 68(11), 1025–1034.