动量等分 · 动能不等分

反冲与火箭方程

碰撞处理两个物体撞到一起，本页处理相反的过程：一个静止的系统自己分成两块。动量守恒在两种过程中同样成立，但分裂这一侧有个碰撞里看不到的特征——动能是凭空多出来的（由化学能或弹性势能转化而来），而它在两块之间的分配极不均匀。把这个过程连续化，就得到火箭。

1 · 动量与动能的两种分配

系统起初静止，总动量为零；分裂后两块的动量必须相加为零，故大小相等、方向相反：

m_1v_1 = m_2v_2

动能则完全是另一回事。两块的动量大小同为 $p$ ，而 $E=p^2/(2m)$ ，于是

\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}

质量大的那块分到的动能反而少，比例是质量的倒数比，与抛出速度无关。

取一门 $800$ kg 的炮射出 $5$ kg 的弹、出膛速度 $600$ m/s，core/rocket.ts 给出炮的反冲速度 $3.75$ m/s，两者动量同为 $3000$ kg·m/s，而动能分别是 $900$ kJ 与 $5.625$ kJ——炮只拿到 $0.6211\%$ 。后坐力之所以可以由人肩承受，靠的正是这个不对称：动量与弹丸相同，能量却小两个多数量级。

图 1-1 · 同一次分裂中动量（上排）与动能（下排）的分配。可调两块的质量与抛出速度，动量条永远等长，动能条的比例始终等于质量的倒数比。

2 · 从一次分裂到连续抛射

火箭把「分裂」重复无数次：每一瞬间抛出一小份质量 $\mathrm{d}m$ ，以相对箭体的速度 $v_e$ 向后喷出。对每一份用动量守恒并积分，得到齐奥尔科夫斯基方程（Tsiolkovsky rocket equation）

\Delta v = v_e\ln\frac{m_0}{m_f}

$m_0$ 与 $m_f$ 是起飞与燃尽时的质量， $v_e$ 是有效排气速度。方程里没有推力、没有燃烧时间、没有轨迹——它只说：能获得多少速度增量，由排气速度与质量比这两个量决定。

对数是这条式子最要紧的性质。速度增量随质量比只按对数增长，想多要一点 $\Delta v$ ，质量比就得成倍地涨。 $v_e=3000$ m/s（液氧煤油量级）要达到第一宇宙速度 $7900$ m/s，需要质量比 $13.9201$ ，即推进剂占起飞质量的 $92.82\%$ ；把目标提到含各项损失的入轨 $\Delta v\approx9400$ m/s，质量比要 $22.9504$ 、推进剂占 $95.64\%$ 。换成 $v_e=4400$ m/s 的液氢液氧，后者降到 $8.4686$ 与 $88.19\%$ 。

3 · 结构系数给出的天花板

上面的算法默认结构质量可以任意小。真实的箭体、贮箱、发动机有重量，记结构系数 $\varepsilon$ 为一级的结构质量占该级总质量的比例。载荷趋于零、推进剂加到无穷时，质量比至多趋于 $1/\varepsilon$ ，于是单级火箭的速度增量有一个上限

\Delta v_{\max} = v_e\ln\frac{1}{\varepsilon}

这条上限与推进剂加多少完全无关。 $\varepsilon=0.1$ 、 $v_e=3000$ m/s 给出 $6907.8$ m/s——低于入轨所需的 $9400$ m/s。在这组参数下单级入轨不是「难」，是不可能。

换个说法更直接：质量比本身有上限。 $m_0/m_f$ 至多趋于 $1/\varepsilon$ ， $\varepsilon=0.1$ 时就是 $10$ ，无论推进剂加多少——级总质量与结构质量同比例增长，比值越不过这个数。图 3-1 的初版把 $\Delta v$ 对质量比的曲线一路画到 $30$ ，读起来像「质量比 $30$ 也是一个选项、只是需要更多燃料」，与本节的结论恰好相反；改成在 $1/\varepsilon$ 处断开、右侧画虚线之后，那段延长线才明确成了数学的而非工程的。

换成 $v_e=4400$ m/s，上限升到 $10131.4$ m/s，勉强超过需求，余量只有 $731$ m/s。这解释了单级入轨（SSTO）方案为什么总在两件事上打转：把 $v_e$ 推高，以及把 $\varepsilon$ 压低。 $\varepsilon$ 从 $0.1$ 降到 $0.05$ 时 $v_e=3000$ 的上限升到 $8987.2$ m/s，仍差一点。

多级火箭绕开这条上限的方式不是「推得更久」，而是半路把空掉的壳子扔掉。抛掉一级之后，剩下的部分重新拥有一个完整的 $\ln(1/\varepsilon)$ 额度。两级平分时上限翻倍到 $13815.5$ m/s（ $v_e=3000$ 、 $\varepsilon=0.1$ ），从此入轨有了余量。

写本节时才意识到「多级」的必要性不能用「推进剂不够」来解释——那是对数增长的问题，加燃料总能补一点。真正卡死的是 $\varepsilon$ 给出的那条水平渐近线：它与燃料多少无关，只能靠丢掉结构本身来重置。

图 3-1 ·

\Delta v

对质量比的曲线与三条水平线（任务需求、单级上限、两级上限）。可调排气速度与结构系数，观察单级上限相对需求线的升降，读数栏给出达成任务所需的质量比。

4 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 9. Wiley.
Tsiolkovsky, K. E. (1903). Исследование мировых пространств реактивными приборами. Научное обозрение, 5.
Sutton, G. P., & Biblarz, O. (2016). Rocket Propulsion Elements (9th ed.), Chapters 4 and 11. Wiley.