J = Δp

冲量与动量定理

一个物体的运动状态由质量与速度共同决定：同样的速度，质量大的物体更难被推动，也更难被拦停。动量（momentum） $p=mv$ 把这两个量合成一个矢量，方向与速度一致。要改变动量，需要力在时间上的持续作用——这段作用的积累就是本页要处理的量。

1 · 恒力下的冲量

力 $F$ 恒定、作用时间为 $\Delta t$ 时，冲量（impulse）定义为

J = F\,\Delta t

冲量也是矢量，方向与 $F$ 一致。牛顿第二定律 $F=ma=m\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 两边乘以 $\Delta t$ 即得 $F\Delta t = m\Delta v$ ——恒力情形下，冲量与动量变化量的相等关系可以直接从牛顿第二定律代入得到，不需要额外假设。

2 · 变力下的冲量：F-t 图的面积

真实的碰撞、击打，接触力都不是恒定的：球棒接触球的瞬间，力从零迅速升到一个峰值再迅速回落，整个过程通常只有一毫秒量级。这类随时间变化的力，冲量定义为对时间的积分

J = \int_{t_0}^{t_1} F(t)\,dt

几何上就是 $F$ - $t$ 图下、从 $t_0$ 到 $t_1$ 的面积——与 $v$ - $t$ 图下的面积对应位移是同一种关系，只是纵轴换成了力。真实力曲线往往不是规整的几何形状，教学与估算里常用三角形或矩形脉冲近似，只要底（作用时长）与高（峰值力）取对，面积（冲量）就与真实曲线大致相符。

3 · 冲量定理：J = Δp

一般情形下，力可以随时间任意变化，物体的质量也可能不是常数（但本页只处理质量不变的情形）。冲量定理给出的关系是

J = \Delta p = m v_1 - m v_0

即冲量等于动量的变化量：碰前碰后的动量差，恰好是接触期间力对时间的积分。下方给定碰前速度 $v_0$ 、目标末速度 $v_1$ 与物体质量，同时给一段三角形脉冲的峰值力与作用时长；脉冲算出的冲量与 $m(v_1-v_0)$ 是否相等，直接检验这条定理。

图 3-1 · 三角形力脉冲与冲量定理。可调质量、碰前/目标速度、峰值力与作用时长，脉冲下的面积（冲量）与 m(v₁−v₀) 是否相等即为检验；另有数值积分份数 N 供对拍解析面积。

注 · 图中的数值积分（左黎曼和）与解析面积（三角形面积公式）之间的误差不是随 $N$ 单调下降的：脉冲顶点固定在 $0.37T$ 处，这个位置多数时候不会正好落在采样网格的分点上，于是 $N=4$ 时误差约 $6.7\%$ ， $N=8$ 时降到约 $0.3\%$ ，但 $N=10$ 反而跳回约 $0.9\%$ ——只有当网格足够密、顶点附近的错位可以忽略时，误差才整体趋于收缩，过程并不平滑。

4 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 9. Wiley.