物理 / 力学 · 从描述运动到万有引力 / 离心现象与弯道倾角 待审核 12 / 21
向心力从哪来 · 超高

离心现象与弯道倾角

向心加速度与向心力指出向心力不是一种新的力，而是某个已有的力在圆周几何下扮演的角色。本页处理这一角色由谁扮演的具体问题：车过弯时向心力从哪来，能提供多少，以及为什么公路与赛道要把弯道外侧垫高。顺带澄清一个说法——「离心力把车甩出去」。

1 · 沿切线离开不等于被甩出去

车在弯道上打滑冲出路面时，轨迹不是沿半径向外的射线，而是原地的切线。这个区别不是细节，它指明了物理机制：不是有一个向外的力把车推出去，而是向内的力不够了，车于是保持原来的速度方向继续走——牛顿第一定律的直接后果。

离心力（centrifugal force）这个词在惯性系里没有对应的实体：找不到施力物体，也找不到反作用力。它只在与车一同转动的参考系里作为记账项出现，与相对运动与参考系 §4 里加速车厢中的惯性力是同一类东西。坐在车里的人感到被推向外侧，感受本身是真的，但那是座椅在推他向内、而他的身体倾向于沿切线走的结果。

2 · 水平弯道能跑多快

水平路面上，竖直方向的支持力与重力抵消，唯一能水平指向圆心的力只有摩擦力。所需向心力 mv2/rmv^2/r 不能超过摩擦力的上限 μmg\mu mg：

mv2r≤μmg  ⟹  v≤μgr\frac{mv^2}{r} \le \mu mg \implies v \le \sqrt{\mu gr}

质量在两边约掉——重车与轻车能跑的最高速度相同。取 r=50r=50 m、μ=0.7\mu=0.7，core/circular.ts 给出 18.520318.5203 m/s，合 66.6766.67 km/h。这个数字对城市道路的匝道是合理的，也解释了为什么雨天 μ\mu 掉一半时限速要相应下调：上限按 μ\sqrt{\mu} 缩，μ\mu 减半意味着上限只剩 70.7%70.7\%。

3 · 倾斜路面的设计速率

把弯道外侧垫高，路面倾斜 θ\theta，支持力就不再竖直，它的水平分量可以直接充当向心力。若这个分量恰好等于所需的向心力，摩擦一点也不需要：

Nsin⁡θ=mv2r,Ncos⁡θ=mg  ⟹  tan⁡θ=v2rgN\sin\theta = \frac{mv^2}{r}, \qquad N\cos\theta = mg \implies \tan\theta = \frac{v^2}{rg}

由此定出的 v=rgtan⁡θv=\sqrt{rg\tan\theta} 是这个倾角的设计速率（design speed）。r=50r=50 m、θ=15°\theta=15° 给出 11.458411.4584 m/s。它与车重、与轮胎都无关，只由几何与 gg 决定——高速公路弯道的超高（superelevation）正是按某个设计车速反算出来的。

摩擦并没有消失，只是改了角色。车速高于设计速率时支持力的水平分量不够，差额由指向坡下的摩擦补上；低于时水平分量过剩，多余部分要由指向坡上的摩擦抵消。两个方向的摩擦各自用满时给出速度的上下限：

vmax⁡=rg tan⁡θ+μ1−μtan⁡θ,vmin⁡=rg tan⁡θ−μ1+μtan⁡θv_{\max} = \sqrt{rg\,\frac{\tan\theta+\mu}{1-\mu\tan\theta}}, \qquad v_{\min} = \sqrt{rg\,\frac{\tan\theta-\mu}{1+\mu\tan\theta}}

θ=15°\theta=15°、μ=0.7\mu=0.7 时上限是 24.161824.1618 m/s，比水平弯道的 18.520318.5203 m/s 高出 30.46%30.46\%；下限的分子 tan⁡θ−μ\tan\theta-\mu 为负，意味着再慢也不会向内滑，此时取零。

图 3-1 · 倾斜弯道上车的受力分解，从正后方看。可调倾角、摩擦系数与车速，观察摩擦力方向在设计速率两侧的翻转，读数栏给出安全速度区间。

4 · 两个互余的临界角

上下限的两条式子各有一个失效点，位置由 μ\mu 定。

下限的分子在 tan⁡θ=μ\tan\theta=\mu 处变号：倾角小于 arctan⁡μ\arctan\mu 时没有速度下限，大于时才有。上限的分母在 tan⁡θ=1/μ\tan\theta=1/\mu 处变号：倾角超过 arctan⁡(1/μ)\arctan(1/\mu) 后上限发散，摩擦足以撑住任意速度。

μ=0.7\mu=0.7 给出两个临界角 34.9920°34.9920° 与 55.0080°55.0080°，相加恰为 90.0000°90.0000°。这不是这组参数的巧合——arctan⁡μ+arctan⁡(1/μ)≡90°\arctan\mu+\arctan(1/\mu)\equiv90° 对任何正的 μ\mu 都成立，两个角永远互余。μ\mu 越大，「无下限」的区间越宽，而「无上限」的门槛越低，两者此消彼长地分割同一个直角。

原本以为这两个角只是各自公式的分母零点、彼此无关，画出速度窗口图才注意到它们总在同一张图上凑成直角。互余关系一旦看出，两条式子的失效条件就不必分开记：只要 θ\theta 落在 arctan⁡μ\arctan\mu 与 90°−arctan⁡μ90°-\arctan\mu 之间，上下限就都是有限的。

μ→0\mu\to0 是另一个极限：上下限一起收敛到设计速率，速度窗口塌成一条线。完全没有摩擦的赛道上，每个倾角只对应唯一一个可行速度——这也是自行车赛车场把弯道做成连续变化的曲面的原因，不同速度的车走不同高度的线。

图 4-1 · 安全速度窗口随倾角的变化，填充带的上下沿是两个速度极限。可调摩擦系数观察两个临界角相向移动而始终互余，把 μ\mu 调到接近零可看到窗口塌成设计速率那一条线。

5 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 6. Wiley.
  2. AASHTO. (2018). A Policy on Geometric Design of Highways and Streets (7th ed.), Chapter 3. American Association of State Highway and Transportation Officials.