速度合成 · 惯性系

相对运动与参考系

匀变速直线运动与自由落体与竖直上抛都默认了一个不动的地面。「不动」相对什么而言，是本页要补的一环：位置与速度从来都是相对某个参考系说的，换一个参考系，同一次运动的描述会变，但物理规律不一定变。哪些量变、哪些不变，正是问题的实质。

1 · 速度的合成

小船在水中划行，船相对水的速度是 $\vec{v}_{\text{船水}}$ ，水相对岸的速度是 $\vec{v}_{\text{水岸}}$ ，则船相对岸的速度

\vec{v}_{\text{船岸}} = \vec{v}_{\text{船水}} + \vec{v}_{\text{水岸}}

下标的规律值得记：相邻的下标两两相消，剩下首尾。这条法则是矢量加法而非代数加法，方向不同的两个速度必须按平行四边形合成。

对地速度决定的是轨迹：船在水面上留下的航迹永远与 $\vec{v}_{\text{船岸}}$ 平行，与船头指向无关。船头指向只决定 $\vec{v}_{\text{船水}}$ 这一项。两者的分离是渡河问题里所有困惑的来源。

2 · 渡河的两个「最短」

河宽 $d$ ，船相对水的速率 $v_b$ ，水速 $v_w$ 。船头正对岸时横渡的分速度就是 $v_b$ ，渡河时间 $d/v_b$ 与水速完全无关；水流只把船顺流带走 $v_w d/v_b$ 。取 $d=100$ m、 $v_b=3$ m/s、 $v_w=2$ m/s，core/relative.ts 给出时间 $33.3333$ s、漂移 $66.6667$ m、航迹长 $120.1850$ m。这是时间最短的走法。

要让航迹垂直于岸（路程最短），须让合速度的顺流分量为零，船头偏上游 $\theta$ 满足 $v_b\sin\theta=v_w$ ，即 $\theta=\arcsin(v_w/v_b)=41.8103°$ 。此时横渡分速度降到 $\sqrt{v_b^2-v_w^2}=2.2360680$ m/s，用时 $44.7214$ s，比时间最短的走法多 $34.16\%$ 。两个「最短」指的不是同一个量，不可能同时取到。

$v_b\le v_w$ 时后一条航线不存在——横向分速度再怎么调也抵不过水流，垂直渡河做不到。能做的是把漂移压到最小。把漂移写成航向角的函数

s(\theta) = d\,\frac{v_w - v_b\sin\theta}{v_b\cos\theta}

求导，分子给出 $v_w\sin\theta-v_b$ ，零点是 $\sin\theta=v_b/v_w$ 。 $v_b=1.5$ m/s、 $v_w=2$ m/s 时最优航向 $48.5904°$ ，最小漂移 $88.1917$ m，与 $0.0001°$ 步长的数值扫描逐位一致。

这个角初版写成了 $\arccos(v_b/v_w)$ 。直觉上「船速与水速构成直角三角形」很容易导向余弦，实际求导给的是正弦。按 $\arccos$ 算出 $41.4096°$ ，漂移 $89.5861$ m，比真正的最小值多 $1.394$ m——差得不多，恰好不容易被一眼看出，是数值扫描把它逼出来的。两条最优航向的形式是对称的： $v_b>v_w$ 时是 $\arcsin(v_w/v_b)$ ， $v_b<v_w$ 时是 $\arcsin(v_b/v_w)$ ，都是「较小的速率除以较大的」。

图 2-1 · 渡河的航迹与速度合成三角形。可调船速、水速与船头角度，读数栏同时给出两种策略的用时；把船速调到低于水速可以看到最短路径策略消失。

3 · 换参考系时的不变量

在匀速行驶的车上竖直上抛一个球。地面上的人看到一条抛物线，车上的人看到球笔直上下、精确落回手里。两种描述都对，描述的是同一次运动。

差别只在水平方向：车上的人与球水平同速，看不到相对的水平位移。竖直方向两者一致，所以滞空时间、最大高度这些量在两个参考系里完全相同。 $v_0=5$ m/s 给出滞空 $1.020408$ s、最大高度 $1.276$ m，与车速多少无关。

一般地，两个参考系的速度差是常矢量 $\vec{u}$ 时，任一物体在两系中的速度相差 $\vec{u}$ ，而加速度

\vec{a}' = \frac{\mathrm{d}(\vec{v}-\vec{u})}{\mathrm{d}t} = \vec{a}

完全相同。牛顿第二定律里的 $a$ 因此在两系中取同一个值， $F=ma$ 是同一条方程。这就是「所有相对惯性系匀速运动的参考系也都是惯性系」这句话的内容。

4 · 加速的参考系

车加速时情况变了。地面系里球的水平速度保持不变（水平方向不受力），车却在加速，于是车上的人看到球向后偏离，偏移量 $-\tfrac12at^2$ 。

这个偏移没有对应的力。球在水平方向确实不受任何力——没有绳拉它、没有面推它、重力是竖直的。要在车厢系里继续用 $F=ma$ 描述它，只能人为补上一个大小 $ma$ 、方向与车的加速度相反的惯性力（inertial force）。惯性力没有施力物体，也找不到反作用力，它是坐标系加速的记账项而非真实的相互作用。

判据由此清晰：一个参考系是不是惯性系，看的是在其中不受力的物体会不会自己加速。加速的车厢里，不受水平力的球在水平方向上有加速度，这个系就不是惯性系。电梯里的超重与失重处理的是同一件事在竖直方向上的版本。

图 4-1 · 同一次抛球在地面系（左）与车厢系（右）中的轨迹。可调车速观察右图始终是竖直线段，把车的加速度调离零则右图弯曲、落点偏离抛出点。

5 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 4. Wiley.
Kleppner, D., & Kolenkow, R. J. (2014). An Introduction to Mechanics (2nd ed.), Chapters 2 and 9. Cambridge University Press.