物理 / 力学 · 从描述运动到万有引力 / 力与运动：牛顿第一、第二定律 待审核 4 / 21
F = ma

力与运动：牛顿第一、第二定律

牛顿运动定律把物体当作一个质点处理，只关心质心怎么运动，不涉及形状与自转。除非另有说明，本页与下一页都忽略空气阻力，且只讨论速度远低于光速的经典力学范围，相对论修正不在讨论之内。

1 · 牛顿第一定律与惯性

日常经验容易得出一个误解：运动需要力来维持，一旦停止推它就会停下来。这个印象之所以成立，只是因为现实中的物体几乎总受着摩擦力或空气阻力——真正撤除水平方向的一切力之后，物体既不会加速也不会减速，将保持原有速度不变，方向也不变。这条性质叫惯性（inertia），牛顿第一定律的陈述正是：不受力，或所受合力为零时，物体保持静止或做匀速直线运动。「保持不变」才是默认状态，要改变它需要一个不为零的合力。

这与亚里士多德「运动需要外力持续作用」的直觉相反，古典力学纠正这条直觉的功劳通常记在伽利略头上：他推演了一个理想斜面实验：斜面越光滑，小球滚得越远，若能设想一个完全没有摩擦的水平面，小球将不受阻碍地一直滚下去。牛顿把这个极限情形写成了第一定律。

图 1-1 · 摩擦系数 μ 为 00 时的 v-t 曲线是一条水平线。可调 μ 引入水平方向的摩擦力，观察速度从 v0v_0 线性降到 00 后维持不变。

2 · 合力与牛顿第二定律

当合力不为零时，牛顿第二定律给出运动状态如何改变：合力 FF 等于质量 mm 乘以加速度 aa，

F=maF = ma

方向上，加速度与合力方向严格相同；大小上，加速度与合力成正比、与质量成反比——同样大小的合力，质量越大，加速度越小。国际单位制里力的单位牛顿（1 N=1 kg⋅m/s21\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg \cdot m/s^2}）就是照着这条等式定义的。多个力同时作用在同一个物体上时，先把它们按向量相加得到合力（resultant force），再代入这条等式；每个分力各自的方向不必与合力一致，是合成之后的那一个方向决定了加速度的方向。

图 2-1 · 2 至 3 个力向量的合成与由此产生的加速度。可调各力的大小与方向、切换第三个力，观察合力与加速度箭头（方向严格相同）随之变化。

注 · 图 2-1 默认给出三个大小相同、方向两两相差 120°120° 的力，理论上应严格抵消。实测合力停在 10−1510^{-15} N 量级，并不精确等于 00，具体数值还随 JavaScript 引擎的 sin/cos 实现而不同：同一段代码在 Node.js 里算出约 1.6×10−151.6\times10^{-15} N，在 Chrome 里算出约 2.2×10−152.2\times10^{-15} N，两者都不是 00，也互不相等。三角函数在 0°0°、120°120°、240°240° 这三个角度上各自留下一点浮点误差，求和时没有正好抵消干净。判定「平衡」因此不能与 00 做精确比较，需要留一个容差，图中取的是 10−610^{-6} N。

加速度与合力方向相同这件事，往往比等式本身更容易被忽略：分力可以指向任何方向，但物体实际改变运动状态的方向，只由合成之后剩下的那一个合力决定。

3 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 5. Wiley.
  2. Newton's laws of motion. Wikipedia. 三条定律的现代陈述与历史文本对照。https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_laws_of_motion