物理 / 力学 · 从描述运动到万有引力 / 摩擦生热与功能关系 待审核 15 / 21
Q=f·Δs 相对

摩擦生热与功能关系

功与功率与机械能守恒处理的是只有重力做功的理想情形。有摩擦时机械能不再守恒，减少的那部分变成了热。本页把这笔账算清：热是多少、由什么决定，以及在有外部输入（传送带）的场合账目怎么分。

1 · 相对位移决定生热

滑动摩擦生成的热

Q=f⋅Δs相对Q = f\cdot\Delta s_{\text{相对}}

其中 Δs相对\Delta s_{\text{相对}} 是两个接触面之间的相对滑动距离，不是任一物体在地面参考系里走过的路程。两个物体各自的位移在换参考系时都会变，它们的差不会——生热是个客观的物理量，只能由不变量决定。

一个能把这点看清的模型：质量 m1m_1 的木块以 v0v_0 滑上静止的长木板 m2m_2，地面光滑。系统水平方向不受外力，动量守恒，两者最终共速 v=m1v0/(m1+m2)v=m_1v_0/(m_1+m_2)。

取 m1=1m_1=1 kg、v0=4v_0=4 m/s、m2=3m_2=3 kg、μ=0.2\mu=0.2，core/heat.ts 给出共同速度 11 m/s，历时 1.5306121.530612 s。这段时间里木块走了 3.8265313.826531 m、木板走了 0.7653060.765306 m，相对滑动 3.0612243.061224 m。摩擦力 1.961.96 N，故 Q=6.000000Q=6.000000 J，与动能损失 8−2=68-2=6 J 逐位相同。

换个角度看这笔账：μ\mu 调大时摩擦力成比例增大，而相对滑动成比例缩短，两者的乘积不变。摩擦系数决定的是滑多远、滑多久，不是耗掉多少能量——耗掉多少由动量守恒定死了。

图 1-1 · 上图是木块与木板的位移对时间，两条曲线的竖直间距即相对位移；下图是能量账的三根条。可调摩擦系数观察相对位移变化而生热不变。

2 · 功能原理

把动能定理写成分项的形式：重力做的功记进重力势能，其余各力做的功等于机械能的改变，

W其他力=ΔE机械W_{\text{其他力}} = \Delta E_{\text{机械}}

这就是功能原理（work-energy principle）。摩擦力在这条式子里的位置有点特别：它对系统内一个物体做负功、对另一个做正功（或不做功），两者相加不为零，差额正是 −Q-Q。这也是为什么摩擦力不能像重力那样定义势能——它做的功依赖路径，来回一趟回到原处，机械能不会恢复。

3 · 传送带上的账目分三份

物块以初速 v0v_0 放上速度 vbv_b 的水平传送带（v0<vbv_0<v_b），摩擦力向前推它直到共速。这个场合有外部输入：电动机要额外做功才能维持带速。三项分别是

W=f⋅s带,ΔEk=12m(vb2−v02),Q=f⋅(s带−s物)W = f\cdot s_{\text{带}}, \qquad \Delta E_k = \tfrac12m(v_b^2-v_0^2), \qquad Q = f\cdot(s_{\text{带}}-s_{\text{物}})

取 m=2m=2 kg、v0=0v_0=0、vb=4v_b=4 m/s、μ=0.3\mu=0.3：加速历时 1.3605441.360544 s，物块走 2.7210882.721088 m，传送带走 5.4421775.442177 m，相对滑动 2.7210882.721088 m。三项算出 W=32W=32 J、ΔEk=16\Delta E_k=16 J、Q=16Q=16 J，账目严丝合缝。

初速为零时热与动能恰好各占一半，这不是这组参数的巧合。t=vb/(μg)t=v_b/(\mu g)，s带=vb2/(μg)s_{\text{带}}=v_b^2/(\mu g)，于是 W=μmg⋅vb2/(μg)=mvb2W=\mu mg\cdot v_b^2/(\mu g)=mv_b^2，而 ΔEk=12mvb2\Delta E_k=\tfrac12mv_b^2，比值恒为 22。μ\mu、vbv_b、mm 全都约掉了。

原以为摩擦系数大会更热——摩擦大嘛。实测 μ\mu 从 0.30.3 调到 0.60.6，热占比纹丝不动地停在 50.000000%50.000000\%。μ\mu 大只是让这段过程更快结束、相对滑动同比缩短，乘积不变，与 §1 里那个模型是同一个道理。

初速不为零时占比沿一条直线下降：v0/vbv_0/v_b 取 0.250.25、0.50.5、0.750.75 时热占比依次是 37.5%37.5\%、25%25\%、12.5%12.5\%，正好是 (1−v0/vb)/2(1-v_0/v_b)/2。把物块以接近带速的初速放上去，浪费的比例就低；速度相同时不打滑，一点热也不生。这条直线是先算出几组数才看出来的，不是从公式推出来后再去验证的。

图 3-1 · 上图是三项能量账的条形对照，下图是生热占电动机做功的比例随初速比的变化。可调摩擦系数观察占比不动，调初速观察游标沿直线移动。

4 · 参考文献

  1. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapters 7–8. Wiley.
  2. Kleppner, D., & Kolenkow, R. J. (2014). An Introduction to Mechanics (2nd ed.), Chapter 5. Cambridge University Press.