椭圆 · 面积速度 · T²∝a³

开普勒三定律

万有引力定律是从力出发的：给定 $F=GMm/r^2$ ，解运动方程得到轨道。历史顺序恰好相反——开普勒先从第谷的观测数据里总结出三条运动学规律，牛顿此后才找到能一并推出它们的那条力的定律。本页按历史顺序展开：三条定律各自说的事在「力」的语言里并不显然，值得先单独看清。

1 · 轨道是椭圆

第一定律：行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

这条否定的东西比肯定的多。此前两千年的天文学默认圆是唯一「完美」的轨道，本轮与均轮的层层叠加都是为了用圆凑出观测到的位置。开普勒手上火星的观测残差只有八角分，而这八角分足以否定所有圆轨道模型——他后来写道，正是这八角分引出了整个天文学的改造。

椭圆用半长轴 $a$ 与偏心率 $e$ 描述，近拱点距离 $a(1-e)$ 、远拱点 $a(1+e)$ 。地球的 $e=0.0167$ ，两者相差 $3.3\%$ ，画在纸上与圆几乎无异；哈雷彗星的 $e=0.967$ ，近日点在金星轨道以内、远日点在海王星以外。 $e=0$ 时椭圆退化为圆，圆是特例而非通例。

2 · 相等时间扫过相等面积

第二定律：连接太阳与行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。

这条定律不谈轨道形状，只谈快慢的分配。近拱点附近矢径短，要扫出同样的面积就得转得快；远拱点附近矢径长，慢慢转就够。近拱点与远拱点的速率之比可以直接从面积守恒读出：两处速度都垂直于矢径，故 $v_pr_p=v_ar_a$ ，

\frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p} = \frac{1+e}{1-e}

地球的这个比值是 $1.033967$ ——一月初经过近日点时比七月初快 $3.4\%$ 。哈雷彗星是 $59.6061$ ：它在近日点的速率将近远日点的六十倍，几十年的公转周期里绝大部分时间都耗在远端缓慢爬行。

在力的语言里这条定律等价于角动量守恒，而角动量守恒只需要力沿着矢径方向（有心力），与力的大小怎么随距离变化毫无关系。三条定律里只有这一条对平方反比不敏感。

图 2-1 · 一个周期等分成若干段时间，各段矢径扫过的扇形。可调偏心率观察扇形形状的悬殊与面积的一致，读数栏给出各扇形面积的极差占均值的比例。

3 · 周期与半长轴

第三定律：所有行星轨道周期的平方与半长轴的立方之比是同一个常数。

\frac{T^2}{a^3} = \text{const}

这个常数只与中心天体有关，与绕行天体是什么无关。它把整个系统绑成一个可以互相推算的整体：知道一个天体的 $a$ 与 $T$ ，就能由另一个天体的 $a$ 反推它的 $T$ ，不必再做一次观测。

地球卫星系是检验它最方便的场合。core/kepler.ts 由「周期等于一个恒星日 $86164.09$ s」反解出同步轨道半长轴 $42164.170$ km；由 GPS 的半个恒星日反解出 $26561.764$ km； $400$ km 高的空间站周期 $92.414$ min。这些数不是量出来的，是第三定律算出来的。

图 3-1 · 四个地球卫星的周期与半长轴，两轴取对数后

T^2\propto a^3

成为斜率

3/2

的直线。可调空间站高度观察它沿直线滑动，读数栏给出月球的偏差。

4 · 第三定律里被略去的那一项

严格的第三定律含两个天体的质量之和：

T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}

行星质量远小于恒星时 $m$ 可以略去，比值才成为与绕行天体无关的常数。这个前提在太阳系的行星上成立得很好，在地月系上却不然——月球质量是地球的 $1/81.3$ 。

用只含地球质量的公式算月球周期，period 给出 $27.451786$ 天，而实测的恒星月是 $27.321661$ 天，偏大 $0.4763\%$ 。换成含 $M+m$ 的严格形式，periodTwoBody 给出 $27.284499$ 天，偏差变成 $-0.1360\%$ 。

修正把误差压小了三倍半，但没有归零，而且符号翻了过来。剩下的这 $0.14\%$ 不是公式还差一项，是这个模型本身把太阳对月球的摄动、地月轨道的偏心率与进动全部略去了——月球是太阳系里受摄动最厉害的天体之一，二体近似能做到千分之一点四已经不错。做这一页时原以为补上 $M+m$ 就该对上，结果发现修正过了头，这个「过头」本身是二体模型精度的一个刻度。

5 · 三条定律与一条力的定律

牛顿的工作是证明：在平方反比的有心引力下，这三条定律都是必然的。第二定律只需要有心力；第一定律（轨道是圆锥曲线）与第三定律则用到平方反比这一具体形式——若指数不是 $2$ ，束缚轨道一般不再闭合，行星每绕一圈近拱点就转过一个角度，画出的是玫瑰线而非椭圆。

反过来，从第三定律可以直接读出中心天体的 $GM$ ： $GM=4\pi^2a^3/T^2$ 。人类知道太阳有多重，用的正是这条路径——不是称量，是观测行星绕它转一圈要多久。

6 · 参考文献

Kepler, J. (1609). Astronomia Nova. （八角分残差的论述见第 19 章）
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 13. Wiley.
Murray, C. D., & Dermott, S. F. (1999). Solar System Dynamics, Chapter 2. Cambridge University Press.