水平 + 自由落体

平抛运动与落地时间

抛体运动忽略空气阻力时只受重力一个作用，加速度恒为竖直向下的 $g$ ；本页统一取 $g=9.8$ m/s²，与位置、速度与匀变速直线运动的口径一致。平抛运动（horizontal projectile motion）是最简单的一种：初速度沿水平方向抛出，竖直方向初速度为零，轨迹是一条向下弯的抛物线。

1 · 水平与竖直的独立叠加

初速度 $v_0$ 沿水平方向抛出、发射高度记为 $h$ ，两个方向各自遵守一套熟悉的公式：水平方向没有加速度，是匀速直线运动， $x(t)=v_0 t$ ；竖直方向初速度为零、加速度恒为 $g$ ，是自由落体，离地高度 $y(t)=h-\tfrac12 g t^2$ 。两个方向互不干扰——水平方向的速度全程不变，竖直方向的下落规律与是否在水平方向运动无关。

把两条独立的直线运动叠成一条曲线，只需消去参数 $t$ ：由 $t=x/v_0$ 代入 $y(t)$ ，得到轨迹方程

y = h - \frac{g}{2v_0^2}x^2

这是一条开口向下的抛物线， $x^2$ 的系数只与 $v_0$ 、 $g$ 有关，跟飞行进行到哪一步无关。

图 1-1 · 平抛运动的分解与合成。可调初速度

v_0

、发射高度

h

与当前时刻，左侧两张小图各画水平位移-时间与竖直高度-时间，右侧小图把同一时刻的坐标对描成合成轨迹。

2 · 与初速度无关的落地时间

落地时刻满足 $y=0$ ，解 $h-\tfrac12 g t^2=0$ 得

T = \sqrt{\frac{2h}{g}}

这个式子只含 $h$ 、 $g$ ，不含 $v_0$ ——水平方向抛得多快都不影响竖直方向下落所需的时间，改变 $v_0$ 只会让水平射程 $R=v_0 T$ 跟着变，落地用时分毫不动。

在 core/projectile.ts 里代入 $h=5$ m、 $v_0$ 分别取 2、5、8、12、20 m/s 实测：五个落地时间全部是 1.0101525445522108 s，精确到 IEEE 双精度浮点的最后一位，不是取整凑巧，而是 $T=\sqrt{2h/g}$ 这条式子本身不含 $v_0$ 。落地速度是水平分量 $v_0$ 与竖直分量 $gT$ 的合成，大小为 $\sqrt{v_0^2+(gT)^2}$ ，与水平方向的夹角为 $\arctan(gT/v_0)$ ——初速度越大，落地角度反而越接近水平。

图 2-1 · 两个不同初速度同时落地。固定发射高度

h

，可调两个初速度与当前时刻，两条轨迹上的点始终同高度、同时触底，只是水平位置分道。

警示 · 上述推导全程忽略空气阻力。真实的平抛物体（乒乓球、羽毛球一类轻而蓬松的对象）受阻力影响明显，水平速度并非恒定不变，实际落地时间与射程都会偏离本页公式给出的理想值，偏离程度随物体形状与速度而异。

3 · 参考文献

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics (10th ed.), Chapter 4. Wiley.