极坐标与参数方程 · 换一套坐标

一个点在平面上的位置，可以用「向右多少、向上多少」说，也可以用「离原点多远、朝哪个方向」说。后一套就是极坐标。换坐标不改变曲线本身，改变的是方程的长相：圆心在原点的圆在直角坐标下写作 $x^2 + y^2 = r^2$，在极坐标下只是 $\rho = r$；四叶玫瑰线在极坐标下是 $\rho = a\sin 2\theta$，在直角坐标下是一个六次方程。

这套便利有代价，而代价恰好是本系列前两页的主线。直角坐标与点是一一对应的，极坐标不是：$\theta$ 加减整圈得到同一个点，$\rho$ 允许取负时还多出一整套表示。于是「把点的坐标代进方程」这个最基本的判据在极坐标下失效——实测六组常见曲线对，只解 $f(\theta) = g(\theta)$ 共找到 16 个交点，逐个表示扫描则找到 24 个，漏掉的三分之一里极点占了大半。

后两页转向参数方程。它不追求把中间变量消掉，而是承认「$x$ 与 $y$ 各自随时间走」本身就是一种描述。消参能回到普通方程，但会丢掉范围：$x = \cos t$、$y = \cos 2t$ 消参后是整条抛物线 $y = 2x^2 - 1$，而原曲线只是 $|x| \le 1$ 的那一段弧——在 $[-3, 3]$ 上取 601 个 $x$，有 400 个是消参凭空多出来的。末页的摆线则给出反方向的论据：它由「圆沿直线滚动」直接写出参数方程，却没有初等的 $y = f(x)$ 闭式，而它同时是最速降线与等时曲线。

坐标系与极坐标方程

极点、极轴与 $(\rho, \theta)$，与直角坐标的互化，以及极坐标不唯一带来的两个实际后果（判点、求交）。随后是直线、圆、圆锥曲线与玫瑰线在这套坐标下的方程。

ρ 与 θ

极坐标系与坐标的不唯一

极坐标用到极点的距离与转过的角定位一个点，与直角坐标的互化只需两条三角关系。代价是一个点有无穷多组坐标，判断点是否在曲线上、求两条曲线的交点，都不能只代一组算。

ρ = f(θ)

常见曲线的极坐标方程

直线与圆在极坐标下按「过不过极点」分情形，方程都很短。圆锥曲线三族共用一个 ρ = ep/(1 − e·cos θ)，只差 e 的取值。玫瑰线的花瓣数随 k 的奇偶而变，这一条来自曲线闭合所需的 θ 区间不同。

极点是求交时最容易漏的那个点

两条极坐标曲线都过极点，不等于存在一个 $\theta$ 让两边的 $\rho$ 同时为零。心形线 $\rho = 1 + \cos\theta$ 在 $\theta = \pi$ 处过极点，圆 $\rho = 3\cos\theta$ 在 $\theta = \pi/2$ 处过极点，两个角不同，差 $f - g$ 在那里等于 $1 - (-3) = 4$，离零远得很。实测: 只解方程得两个交点 $(0.75, \pm 1.299)$，逐表示扫描得三个，多出来的那个就是极点。所以极坐标下求交要多走一步，单独问一句「两条曲线各自过不过极点」。 参数方程与消参

参数是第三个变量，$x$ 与 $y$ 都是它的函数。直线、圆、椭圆的标准参数方程，消参回普通方程时必须回补的范围，以及只能靠参数写出的摆线一族。

x = f(t)

参数方程与消参

参数方程让 x 与 y 各自随第三个变量走，参数的取值范围是方程的一部分。消参能回到普通方程，但会把范围丢掉，消完必须回补，否则解集比原曲线大。

滚动的轨迹

摆线与由运动定义的曲线

圆沿直线滚动，圆周上一个定点划出摆线，参数方程由滚动本身直接写出。摆线同时是最速降线与等时曲线，惠更斯据此设计摆钟；外摆线与内摆线是同一套推导换个滚动面。

下滑耗时的数值积分在起点处是奇异的

$T = \int \mathrm{d}s / v$ 里 $v = \sqrt{2g\Delta h}$ 在起点为零，被积函数发散（可积但奇异），常规求积在这个奇点上退化得厉害：直线滑道上中点法取 $10^3$ 个区间误差 $1.138 \times 10^{-2}$，加到 $10^5$ 只降到 $1.138 \times 10^{-3}$，加到 $10^7$ 才 $1.138 \times 10^{-4}$——取样量翻一万倍只换来两位有效数字，正是 $O(n^{-1/2})$。换元 $t = t_0 + s^2 \Delta t$ 把这个 $1/\sqrt{\cdot}$ 抹平之后，Simpson 在 200 个区间上即得 $1.150 \times 10^{-12}$。剩下的误差反而来自弧长里的中心差分步长 $h$: 同一条滑道上 $h = 10^{-4}$ 时误差 $8.9 \times 10^{-14}$，$h = 10^{-8}$ 时 $1.5 \times 10^{-9}$，与 $h$ 成反比，是舍入放大而非截断，所以 $h$ 不能一味取小。

相关链接

极坐标系

• Polar coordinate system — Wikipedia en.wikipedia.org 极坐标的定义、与直角坐标的互化, 以及表示不唯一这一条。
• Polar curve — Wikipedia en.wikipedia.org 极坐标方程给出的曲线, 以及求交时的极点问题。
• Math.atan2() — MDN developer.mozilla.org atan2 的返回区间与它在原点、负零上的取值。

常见曲线

• Rose (mathematics) — Wikipedia en.wikipedia.org 玫瑰线, 以及花瓣数随 k 的奇偶而变的那条结论。
• Cardioid — Wikipedia en.wikipedia.org 心形线的极坐标方程与它作为外摆线的来历。
• Conic section — Wikipedia en.wikipedia.org 圆锥曲线的焦点—准线定义与统一的极坐标方程。
• Limaçon — Wikipedia en.wikipedia.org 蚶线, 心形线所属的那一族。

参数方程与摆线

• Parametric equation — Wikipedia en.wikipedia.org 参数方程的定义, 以及消参与定义域的关系。
• Cycloid — Wikipedia en.wikipedia.org 摆线的推导、弧长 8a 与一拱面积 3πa²。
• Brachistochrone curve — Wikipedia en.wikipedia.org 最速降线问题与 1697 年的那批解法。
• Tautochrone curve — Wikipedia en.wikipedia.org 等时曲线, 惠更斯 1659 年的结果。
• Epicycloid — Wikipedia en.wikipedia.org 外摆线, 以及 spirograph 画出的那一族图案。