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滚动的轨迹

摆线与由运动定义的曲线

前一页的曲线都有普通方程，参数方程只是另一种写法。本页这一族不同：摆线的参数方程由「圆在滚」直接写出，而它的普通方程需要反解一个超越方程，写不成初等的 y=f(x)y = f(x)。对这一族而言参数方程不是可选的记法，是唯一可行的记法。这一族还带着两条与运动有关的性质，它们在十七世纪引出了变分法与第一台高精度摆钟。

1 · 圆滚动划出的轨迹

设半径为 aa 的圆沿 xx 轴向右无滑动地滚动，起始时圆周上的定点 MM 在原点。圆转过角 θ\theta 后，滚过的弧长等于走过的距离，故圆心到了 (aθ,a)(a\theta, a)。定点相对圆心的位移是 (−asin⁡θ,−acos⁡θ)(-a\sin\theta, -a\cos\theta)，两者相加即得摆线（cycloid）的参数方程：

{x=a(θ−sin⁡θ)y=a(1−cos⁡θ)\begin{cases} x = a(\theta - \sin\theta) \\ y = a(1 - \cos\theta) \end{cases}

推导只用到「无滑动」这一个条件，参数 θ\theta 就是圆转过的角。一拱（θ\theta 从 00 到 2π2\pi）的跨度是 2πa2\pi a，拱高是 2a2a。另有两个量不由参数方程一眼看出，数值积分给出的结果与经典闭式吻合：一拱的弧长是 8a8a，一拱下方的面积是 3πa23\pi a^2，即滚动圆面积的三倍。

反过来写成普通方程就麻烦了。由 yy 解出 cos⁡θ=1−ya\cos\theta = 1 - \frac{y}{a} 可以得到 θ\theta，代回第一式得

x=aarccos⁡(1−ya)−2ay−y2x = a\arccos\left(1 - \frac{y}{a}\right) - \sqrt{2ay - y^2}

这是 xx 关于 yy 的显式；而要写 yy 关于 xx 就必须反解 θ−sin⁡θ=xa\theta - \sin\theta = \frac{x}{a}，那是一个超越方程，没有初等闭式。星形线上的情况更直接：x=0.5x = 0.5 处有两个 yy 值（实测 ±0.225\pm 0.225），它根本不是函数图像。

图 1-1 · 圆滚动生成摆线。可拖动滚动角观察圆心、定点与已划出的轨迹，读数给出当前点的坐标、已走过的弧长与一拱的三个整体量。

2 · 最速降线

给定不在同一竖直线上的两点 AA、BB（BB 在 AA 的下方），求一条连接它们的曲线，使质点自 AA 静止出发、无摩擦地沿曲线滑到 BB 的时间最短。Johann Bernoulli 于 1696 年公开提出这个问题，次年收到六份解答，其中包括 Newton 的一份匿名稿。答案是一段摆线。

伽利略在 1638 年考察过同一个问题，认为圆弧比直线快。前半句对，后半句不对——圆弧确实比直线快，但它不是最快的。取 AA 为原点、B=(π,−2)B = (\pi, -2)、g=9.8g = 9.8，三条滑道的耗时实测如下：

滑道 耗时（秒） 与直线之比
摆线（a=1a = 1，θ\theta 走到 π\pi） 1.00351.0035 0.84360.8436
圆弧（在 AA 处竖直相切） 1.02901.0290 0.86500.8650
直线 1.18961.1896 11

摆线比直线省 15.64%15.64\%，而圆弧已经省了 13.50%13.50\%。伽利略的猜测差得不多，这也是它当年看起来可信的原因。摆线滑道的耗时另有闭式 θBa/g\theta_B\sqrt{a/g}，本例即 π1/9.8=1.00354496\pi\sqrt{1/9.8} = 1.00354496，数值积分给出 1.003544961.00354496，两者在小数点后八位一致。

这个问题的历史地位不在答案本身，而在解法：它要求在「所有连接 AA 与 BB 的曲线」这个无穷维集合上求极值，欧拉与拉格朗日随后把这类问题整理成变分法。

图 2-1 · 三条滑道的下滑耗时对照。可调终点位置观察三条曲线的形状与耗时排序，读数给出各自的耗时、与直线之比，以及摆线那一条的闭式核对。

3 · 等时性与摆钟

摆线的第二条性质更反直觉：在开口朝下的摆线上，质点自任意一点静止下滑到最低点的时间相同，与出发点的高度无关。这条性质叫等时性，惠更斯（Christiaan Huygens）于 1659 年发现。

耗时的闭式是 πa/g\pi\sqrt{a/g}。取 a=1a = 1、g=9.8g = 9.8 逐个核对：在 (0,π)(0, \pi) 内均匀取 200200 个出发角，每个都做一次数值积分，与闭式 1.003544961.00354496 的最大偏差是 1.276×10−91.276 \times 10^{-9}，出现在 θ0=3.1260\theta_0 = 3.1260 这一档，即最靠近最低点的那个出发点。出发点越低，下滑距离越短，积分区间越窄，偏差反而抬头。

对照组是圆弧。单摆走的是圆弧，它的等时性只在小摆角下近似成立：同一条半径为 11 的圆弧上，从较高处释放与从较低处释放的耗时并不相等，实现里的单测就是拿这条不等式来区分两族曲线的。

惠更斯把这条性质用进了摆钟。他在 1673 年的《Horologium Oscillatorium》里给出方案：在摆的悬点两侧各装一片摆线形的挡板（摆线颊），摆绳绕着挡板收放，摆锤走的轨迹就成了摆线，于是振幅变化不再影响周期。方案在数学上无懈可击，实际效果却不理想——挡板带来的摩擦与摆绳的形变，抵消掉了等时性省下的那点误差，后世的高精度摆钟改走另一条路：把摆角限制得足够小，让圆弧的近似等时性够用。

注 · 摆线在本页出现了两次，而两次的身份不同：最速降线是「所有曲线里下滑最快的那一条」，等时曲线是「下滑时间与出发点无关的那一条」。两个问题的提法互不相干，答案却是同一族曲线，惠更斯与伯努利兄弟当年也是分头得到的。

4 · 另外两种滚动面

摆线的推导只用到「无滑动地滚动」，把直线换成圆即得另外两族。半径 rr 的圆在半径 RR 的定圆外侧滚动，动圆上定点的轨迹是外摆线（epicycloid）：

{x=(R+r)cos⁡t−rcos⁡R+rrty=(R+r)sin⁡t−rsin⁡R+rrt\begin{cases} x = (R + r)\cos t - r\cos\frac{R + r}{r}t \\ y = (R + r)\sin t - r\sin\frac{R + r}{r}t \end{cases}

在内侧滚动则是内摆线（hypocycloid），x=(R−r)cos⁡t+rcos⁡R−rrtx = (R - r)\cos t + r\cos\frac{R - r}{r}t，y=(R−r)sin⁡t−rsin⁡R−rrty = (R - r)\sin t - r\sin\frac{R - r}{r}t。这一族曲线的闭合条件由 R:rR : r 约分后的分母定：约成最简分数 p:qp : q 后，动圆要绕 qq 圈轨迹才闭合。R=4rR = 4r 时 q=1q = 1，一圈即闭合，得到四个尖点的星形线；R:r=5:3R : r = 5 : 3 时 q=3q = 3，要绕三圈。儿童玩具 spirograph 画出的花样就是这一族，齿数比决定图案的对称性。

两条与前面各页接上的对照，实现里都逐点核对过：沿参数区间等距取 20002000 个点，R=4rR = 4r 的内摆线与星形线 x=acos⁡3tx = a\cos^3 t、y=asin⁡3ty = a\sin^3 t 逐点最大偏差 2.238×10−152.238 \times 10^{-15}；R=rR = r 的外摆线把尖点平移到极点后，与心形线的极坐标方程 ρ=2(1−cos⁡θ)\rho = 2(1 - \cos\theta) 最大偏差 2.220×10−152.220 \times 10^{-15}。后一条把本系列的两半接了起来：同一条曲线，极坐标那边看到的是极径随极角摆动（见 常见曲线的极坐标方程 §4），参数方程这边看到的是一个圆在滚。

图 4-1 · 外摆线与内摆线。可调定圆与动圆的半径比观察尖点数与闭合所需的圈数，读数给出约分后的比值、闭合圈数，以及与星形线或心形线的逐点偏差。

5 · 数值积分在起点处的奇点

下滑耗时 T=∫ds/vT = \int \mathrm{d}s / v 里 v=2gΔhv = \sqrt{2g\Delta h} 在起点为零，被积函数在那里发散。积分本身收敛（1/⋅1/\sqrt{\cdot} 型奇点可积），但常规求积在这个奇点上退化得厉害：直线滑道上用中点法，取 10310^3 个区间误差 1.138×10−21.138 \times 10^{-2}，10510^5 个降到 1.138×10−31.138 \times 10^{-3}，10710^7 个才到 1.138×10−41.138 \times 10^{-4}。取样量每翻一百倍，精度只提高十倍，正是 O(n−1/2)O(n^{-1/2}) 的样子。

换元 t=t0+s2Δtt = t_0 + s^2\Delta t 把这个奇点抹平：dt=2s Δt ds\mathrm{d}t = 2s\,\Delta t\,\mathrm{d}s 里的 ss 恰好抵消被积函数里的 1/s1/s，之后走 Simpson，200200 个区间即得 1.150×10−121.150 \times 10^{-12}。

余下的误差来自一个意外的地方。区间数继续加不再有用：20002000 个是 1.212×10−121.212 \times 10^{-12}，2000020000 个是 1.304×10−121.304 \times 10^{-12}，200000200000 个反而涨到 3.071×10−123.071 \times 10^{-12}。查下来是弧长里那个中心差分的步长 hh。固定区间数 20002000 单调 hh 实测：h=10−4h = 10^{-4} 时误差 8.9×10−148.9 \times 10^{-14}，h=10−6h = 10^{-6} 时 3.9×10−123.9 \times 10^{-12}，h=10−8h = 10^{-8} 时 1.5×10−91.5 \times 10^{-9}。误差与 hh 成反比，是舍入被除法放大的形状，不是截断。实现里最初取 h=10−7h = 10^{-7}，想着越小越准，实测比 10−410^{-4} 差三个数量级。现在取 10−510^{-5}：直线滑道上 10−410^{-4} 更准，但那条路径的三阶导为零、截断误差本就不存在，弯曲的滑道上不能照搬。

6 · 参考文献

  1. Cycloid. Wikipedia. 摆线的推导、弧长 8a 与一拱面积 3πa²。https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid
  2. Brachistochrone curve. Wikipedia. 最速降线问题与 1697 年的那批解法。https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve
  3. Tautochrone curve. Wikipedia. 等时曲线与惠更斯 1659 年的结果。https://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve
  4. Huygens, C. (1673). Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. Paris: F. Muguet. 摆钟的设计与摆线颊。
  5. Epicycloid. Wikipedia. 外摆线及其闭合条件。https://en.wikipedia.org/wiki/Epicycloid
  6. Astroid. Wikipedia. 星形线及其作为内摆线的来历。https://en.wikipedia.org/wiki/Astroid