x = f(t)

参数方程与消参

普通方程写的是 $x$ 与 $y$ 之间的关系，参数方程写的是两者各自与第三个变量的关系。多出来的那个变量常被当作「中间量」，似乎迟早要消掉；实际上它承载着普通方程装不下的信息：点在曲线上的走法、走到哪里为止。本页给出参数方程的定义与几条标准形式，然后处理消参这一步最容易出错的地方。

1 · 参数方程的定义

定义 1.1（参数方程） 设曲线 $C$ 上任一点的坐标 $x$ 、 $y$ 都是变量 $t$ 的函数 $\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases} \quad t \in D$ 且对 $D$ 内每个 $t$ ， $(f(t), g(t))$ 都在 $C$ 上；反之 $C$ 上每一点都对应 $D$ 内至少一个 $t$ 。则该方程组称为曲线 $C$ 的参数方程， $t$ 称为参数。

定义里的 $t \in D$ 不是附注。 $t$ 的取值范围与两条函数式一样是方程的组成部分：同样一对 $x = \cos t$ 、 $y = \sin t$ ， $t \in [0, 2\pi)$ 给出整个单位圆， $t \in [0, \pi]$ 只给出上半圆。省掉范围的参数方程是不完整的。

参数的物理读法通常是时间：一个点在平面上运动， $x$ 与 $y$ 各自随时间变化，消去时间得到轨迹的形状，而运动本身的信息随之丢失。抛体运动是最短的例子—— $x = v_0t\cos\alpha$ 、 $y = v_0t\sin\alpha - \frac{1}{2}gt^2$ 消去 $t$ 得到一条抛物线，但「什么时候到最高点」只在参数方程里读得出来。

2 · 标准参数方程

过点 $M_0(x_0, y_0)$ 、倾斜角为 $\alpha$ 的直线：

\begin{cases} x = x_0 + t\cos\alpha \\ y = y_0 + t\sin\alpha \end{cases}

这条形式里的 $t$ 有明确的几何意义：它是 $M_0$ 到动点的有向距离。 $t > 0$ 表示动点在 $M_0$ 的正方向一侧， $|t|$ 就是距离本身。因此涉及「直线上两点的距离」「弦的中点」的问题，用这套参数写下来往往比解方程组短。

圆心在 $(x_0, y_0)$ 、半径为 $r$ 的圆：

\begin{cases} x = x_0 + r\cos t \\ y = y_0 + r\sin t \end{cases} \quad t \in [0, 2\pi)

椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ：

\begin{cases} x = a\cos\varphi \\ y = b\sin\varphi \end{cases} \quad \varphi \in [0, 2\pi)

式中的 $\varphi$ 叫离心角，它是把椭圆压扁前那个圆上的转角，不是点 $P$ 与 $x$ 轴正方向的夹角。两者只在四个顶点处相等，其余位置都有差。取 $a = 5$ 、 $b = 3$ 沿整圈量一遍，最大差是 $14.4775°$ ，与闭式 $\arctan\frac{a - b}{2\sqrt{ab}}$ 吻合到小数点后六位。把离心角当成极角是这条参数方程最常见的误读，而误差在 $\varphi$ 接近 $45°$ 的奇数倍时最大，恰好落在直觉最松懈的位置。

图 2-1 · 直线、圆与椭圆的参数方程。可切换曲线并拖动参数

t

，读数给出当前点的坐标、参数的几何意义，以及椭圆一栏里离心角与极角的差。

3 · 消参与定义域

消参的手法只有几种：代入消元、加减消元、借三角恒等式（ $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 是最常用的那条）。手法本身不难，难在消完之后得到的方程往往比原曲线大，必须把范围补回去。

以 $x = \sin^2 t$ 、 $y = \cos^2 t$ 为例。两式相加得 $x + y = 1$ ，那是一条完整的直线，向两端无限延伸；而 $\sin^2 t$ 的值域是 $[0, 1]$ ，原曲线只是这条直线上的一条线段。在 $[-2, 3]$ 上等距取 $501$ 个 $x$ 逐个检查：消参后的方程全部接受，原曲线只接受其中 $101$ 个，多出 $400$ 个。

再看 $x = \cos t$ 、 $y = \cos 2t$ 。由二倍角公式 $\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$ 得 $y = 2x^2 - 1$ ，一条完整的抛物线；而原曲线只是它上面 $|x| \le 1$ 的那一段弧。窗口取 $[-3, 3]$ 、 $601$ 个取样点，有 $400$ 个（三分之二）是消参凭空多出来的。

警示 · 消参之后要回头核对两件事：新方程的解集有没有多出点来，以及原曲线有没有被漏掉的点。前者靠回补 $x$ （或 $y$ ）的范围，后者要检查参数是否真的取遍了 $D$ 。

漏点这一侧比多点隐蔽。单位圆有一套只用有理运算的参数化

x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad y = \frac{2t}{1 + t^2}

消参得 $x^2 + y^2 = 1$ ，看上去与三角参数化等价。但 $t$ 走遍全体实数也取不到点 $(-1, 0)$ ：那个点只在 $t \to \infty$ 处出现。实测这条曲线到 $(-1, 0)$ 的最小距离随参数上界成反比缩小——上界取 $10^2$ 时是 $2.000 \times 10^{-2}$ ， $10^4$ 时 $2.000 \times 10^{-4}$ ， $10^6$ 时 $2.000 \times 10^{-6}$ ， $10^8$ 时 $2.000 \times 10^{-8}$ 。距离趋于零而永不为零，与「渐近」是同一种关系。

写取样代码时还撞到一处小事： $x = \sin^2 t$ 在 $[0, 2\pi]$ 上等距取两万个点， $y = \cos^2 t$ 的最小值实测是 $3.749 \times 10^{-33}$ 而不是 $0$ 。取样点永远踩不到 $t = \frac{\pi}{2}$ ，最近的那个点上 $\cos t \approx 6.1 \times 10^{-17}$ ，平方之后就是这个数。范围的端点是否取到，取样是答不上来的——这类判断只能回到函数本身。

图 3-1 · 消参前后的曲线对照。可切换四组参数方程，图上同时画出原曲线与消参后方程的完整图像，读数给出取样窗口内多出来的点数与占比。

4 · 同一条曲线的不同参数化

消参丢掉的不只是范围，还有走法。 $x = \cos t$ 、 $y = \sin t$ 与 $x = \cos 2t$ 、 $y = \sin 2t$ 消参后是同一个 $x^2 + y^2 = 1$ ，但前者转一圈用 $2\pi$ ，后者用 $\pi$ 。曲线是同一条，运动是两回事。

参数化的选择也决定哪些情形会退化。上一节那套有理参数化漏掉一个点，代价看似不划算，好处却是它只用四则运算：把 $t$ 取成有理数， $(x, y)$ 就是圆上的有理点，勾股数由此成批生成。三角参数化没有这个性质。所以「哪套参数方程更好」这个问题没有一般答案，只有「针对哪件事更好」。

5 · 参考文献

Parametric equation. Wikipedia. 参数方程的定义与消参。https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_equation
Eccentric anomaly. Wikipedia. 离心角的定义及其与极角的关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Eccentric_anomaly
Tangent half-angle substitution. Wikipedia. 单位圆的有理参数化与它漏掉的那个点。https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_half-angle_substitution
Pythagorean triple. Wikipedia. 由圆上有理点生成勾股数。https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple