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ρ = f(θ)

常见曲线的极坐标方程

换坐标的收益要在具体曲线上兑现。本页列出直线、圆、圆锥曲线、玫瑰线与心形线在极坐标下的方程，并在每一族上指出一处只有在这套坐标里才会遇到的判据：直线在某些角上极径无界，圆的一般方程是关于极径的二次式，玫瑰线的花瓣数取决于曲线闭合所需的角区间。

1 · 直线与圆

直线分两类。过极点的直线上每一点的极角相同（或相差 π\pi），方程就是

θ=α\theta = \alpha

极径在这条方程里不出现，取遍全体实数。这也是负极径约定的用处之一：ρ\rho 允许取负时，一条方程画出的是整条直线而不是一条射线。

不过极点的直线由「极点到它的距离 aa」与「垂足的方向 α\alpha」定出。设 P(ρ,θ)P(\rho, \theta) 在直线上，则 ρ\rho 在垂足方向上的投影恒为 aa：

ρcos⁡(θ−α)=a\rho\cos(\theta - \alpha) = a

θ=α±π2\theta = \alpha \pm \frac{\pi}{2} 时余弦为零，那两条射线与直线平行，极径无界。实现里 lineRho 在这两个角上返回 null，交由调用方跳过。

圆的方程按圆心位置分三档。圆心在极点时最简，ρ=a\rho = a，极角完全自由。圆过极点、圆心在 (a,α)(a, \alpha) 时，极点、圆心与圆上任一点构成直角三角形（直径所对的圆周角是直角），于是

ρ=2acos⁡(θ−α)\rho = 2a\cos(\theta - \alpha)

α=0\alpha = 0 即圆心在极轴上，方程为 ρ=2acos⁡θ\rho = 2a\cos\theta；α=π2\alpha = \frac{\pi}{2} 即圆心在极轴的垂线上，方程为 ρ=2asin⁡θ\rho = 2a\sin\theta。这条方程有半个周期给出负的极径，而那半圈画出的是同一个圆；单测把两段的去重点数比对，结果相等。

一般位置的圆（圆心 (ρ0,θ0)(\rho_0, \theta_0)、半径 rr）由余弦定理给出

ρ2−2ρ0ρcos⁡(θ−θ0)+ρ02−r2=0\rho^2 - 2\rho_0\rho\cos(\theta - \theta_0) + \rho_0^2 - r^2 = 0

这是关于 ρ\rho 的二次方程，不是 ρ=f(θ)\rho = f(\theta)。原因在几何上很直接：一条从极点出发的射线可以与圆相交两次。所以核心模块里这一条给出的是 circleRhos，返回零到两个极径而不是一个。这一处是极坐标与直角坐标的一个结构差别：直角坐标下 yy 关于 xx 是二值的曲线很常见，而极坐标下「一条射线交曲线几次」这件事在方程的形状上直接可见。

图 1-1 · 直线与圆的极坐标方程。可切换五种情形并调各自的参数，读数给出当前极角上的极径个数，以及极径无界或取负的那些角。

2 · 圆锥曲线的统一方程

把极点取在焦点上、准线取在极点左侧且与极轴垂直、极点到准线的距离记作 pp，则三族圆锥曲线共用

ρ=ep1−ecos⁡θ\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}

证明 设 P(ρ,θ)P(\rho, \theta) 在曲线上。PP 到焦点的距离就是极径 ρ\rho；准线为 x=−px = -p，故 PP 到准线的距离是 ρcos⁡θ+p\rho\cos\theta + p。焦点—准线定义要求两者之比为 ee，即 ρ=e(ρcos⁡θ+p)\rho = e(\rho\cos\theta + p)，整理得 ρ(1−ecos⁡θ)=ep\rho(1 - e\cos\theta) = ep。∎

ee 落在哪一段决定分母何时取零，也就决定了曲线的形状。e<1e < 1 时分母恒正，极角走满一圈得到闭合的椭圆；e=1e = 1 时分母在 θ=0\theta = 0 处为零，曲线在那个方向上跑向无穷，闭不上，是抛物线；e>1e > 1 时分母在两个角上为零，那两个方向是渐近方向，且中间一整段角上算出的极径为负，那些点属另一支。取样时这一段必须整段丢掉：e=2e = 2、p=2p = 2 时 cos⁡θ>12\cos\theta > \frac{1}{2} 的那 120°120° 全被丢弃，361361 个等距取样只剩 239239 个。

三族合成一条方程这件事，与 离心率与三族的统一定义 §3 讲的是同一件事，只是那一页的准线取在极点右侧，方程写作 r=l1+ecos⁡θr = \frac{l}{1 + e\cos\theta}，其中 l=epl = ep 是半通径。两套写法差一个 θ→π−θ\theta \to \pi - \theta，即整条曲线关于极点的竖直轴翻转。把两个实现按这条对应逐点比对过一遍：e=0.3e = 0.3 时最大偏差 1.665×10−151.665 \times 10^{-15}，e=0.9e = 0.9 时 6.271×10−146.271 \times 10^{-14}，而 e=1e = 1 时跳到 3.117×10−93.117 \times 10^{-9}。最后这一档看着刺眼，来历却不在公式上——两边跳过「分母趋零」的阈值定得不同，故保留下来的最靠近渐近方向的那个点，坐标已在 10610^{6} 量级，相对偏差仍是 10−1510^{-15}。

注 · 极坐标方程里的 pp 是焦点到准线的距离，与抛物线标准方程 y2=2pxy^2 = 2px 里的 pp 同名不同物：后者是焦点到准线距离的两倍。这一处重名是历史包袱，两套记号在各自的语境里都已固定，改哪一边都会与教材脱节。

3 · 玫瑰线的花瓣数

玫瑰线是

ρ=asin⁡(kθ)\rho = a\sin(k\theta)

aa 定花瓣的长度，kk 定花瓣的个数。而「个数」这件事在 kk 的奇偶上分岔：kk 为奇数时有 kk 瓣，kk 为偶数时有 2k2k 瓣。

这条结论的机制是曲线闭合所需的角区间不同，而不是花瓣本身有两种长法。kk 为奇数时 θ\theta 走过 [0,π)[0, \pi) 曲线已经画完，后半圈是原路重描：第二圈的 (ρ,θ)(\rho, \theta) 与第一圈的 (−ρ,θ−π)(-\rho, \theta - \pi) 是同一批点。kk 为偶数时这种重合不发生，必须走满 [0,2π)[0, 2\pi) 才闭合，于是花瓣数翻倍。

核心模块把这条写成 roseSpec，而单测不重算公式，改用两个独立的量核对：一是数取样点上极径的峰（按极径的零点切段，每段一瓣，重描的段去重掉），二是求最小的 TT 使 [0,T][0, T] 上的点集与 [0,2π][0, 2\pi] 上的点集互相覆盖。实测两列与公式逐项吻合：

kk 闭合区间（实测） 花瓣数（数峰得到） [0,π)[0, \pi) 上的花瓣数
1 π\pi 1 1
2 2π2\pi 4 2
3 π\pi 3 3
4 2π2\pi 8 4
5 π\pi 5 5
6 2π2\pi 12 6
7 π\pi 7 7
8 2π2\pi 16 8

最后一列是这件事最容易被误解的地方：kk 为偶数时只画半圈会得到一半的花瓣，图上看着像一朵完整的花，瓣数却是 kk 而非 2k2k。写取样代码时把上限从 2π2\pi 打成 π\pi，k=4k = 4 那一档会安静地画出四瓣，不报任何错。

kk 不为整数时曲线不再闭合，花瓣一圈圈叠着长，roseSpec 对这一档不给结论：它按 kk 的整数奇偶分类，k=2.5k = 2.5 落在分类之外。

图 3-1 · 玫瑰线的花瓣数与闭合区间。可调 aa、kk 与 θ\theta 的上限，读数给出实测的花瓣数与闭合所需的区间，kk 为偶数而上限只到 π\pi 时可见花瓣少了一半。

4 · 心形线与蚶线

心形线是

ρ=a(1+cos⁡θ)\rho = a(1 + \cos\theta)

θ=π\theta = \pi 处极径为零，曲线在极点上收成一个尖点；θ=0\theta = 0 处极径取到最大值 2a2a。它属于蚶线（limaçon）族 ρ=b+acos⁡θ\rho = b + a\cos\theta：b>ab > a 时曲线不过极点，是一条凸出的闭曲线；b=ab = a 即心形线；b<ab < a 时极径在一段角上为负，那一段在极点内侧画出一个小环。

心形线还有一个与本页无关、与下一页有关的来历：它是半径相等的两圆做外滚时的轨迹，即 R=rR = r 的外摆线。把外摆线 x=2cos⁡t−cos⁡2tx = 2\cos t - \cos 2t、y=2sin⁡t−sin⁡2ty = 2\sin t - \sin 2t 的尖点平移到极点后逐点比对 ρ=2(1−cos⁡θ)\rho = 2(1 - \cos\theta)，最大偏差 2.220×10−152.220 \times 10^{-15}。同一条曲线的两种写法就此对上，而两种写法分属两套坐标——极坐标那一边看到的是「极径随极角摆动」，参数方程那一边看到的是「一个圆在滚」。后者见 摆线与由运动定义的曲线。

5 · 参考文献

  1. Polar curve. Wikipedia. 极坐标方程给出的曲线族。https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_curve
  2. Rose (mathematics). Wikipedia. 玫瑰线，以及花瓣数随 k 的奇偶而变。https://en.wikipedia.org/wiki/Rose_(mathematics)
  3. Cardioid. Wikipedia. 心形线的极坐标方程与它作为外摆线的来历。https://en.wikipedia.org/wiki/Cardioid
  4. Limaçon. Wikipedia. 蚶线族与三种形状的分界。https://en.wikipedia.org/wiki/Lima%C3%A7on
  5. Conic section. Wikipedia. 焦点—准线定义与统一的极坐标方程。https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section