mean / median / mode · IQR · box plot

样本的数字特征：集中趋势、离散程度与百分位数

面对一组数据，通常先问三件事：中心在哪里、分散有多大、不同位置的取值如何分布。集中趋势用平均数(mean)、中位数(median)、众数(mode)刻画数据的中心；离散程度用极差(range)、方差(variance)、标准差(standard deviation)刻画取值的波动；百分位数(percentile)按位置把数据切分，定位任意比例处的取值。这些由样本算出、用来概括数据的量统称数字特征，也是用样本估计总体的基础。本页用可切换的数据集观察它们如何度量同一组数据，以及它们对离群值(outlier)的不同敏感程度。

1 · 中心与波动的度量

mean · median · mode · range · variance · std

平均数 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_i x_i$ 是所有数据的算术平均，几何上是分布的重心；中位数是升序后居中的数（偶数个取中间两数的平均），把数据按个数对半分；众数是出现最频繁的取值。离散程度里，极差是 $\max - \min$ ，只看两端；方差 $s^2 = \frac{1}{n}\sum_i (x_i - \bar{x})^2$ 是各数据到重心距离平方的平均，标准差 $s = \sqrt{s^2}$ 与数据同量纲。

图 1-1 · 数轴点图上叠出的均值、中位数与众数。可切换数据集并开关离群值，观察数轴标记与右侧数字如何联动。

注 · 平均数与中位数在对称数据里几乎重合，数据偏斜或含离群值时则分道扬镳。图 1-1 的两组数据实测：scores 开启离群值后平均数从 80.000 掉到 77.045，中位数纹丝不动地停在 80；income 的平均数从 11.850 涨到 15.571，中位数同样停在 7。描述收入、房价这类右偏数据时，中位数往往比平均数更有代表性；众数则适合刻画最常见的取值。

2 · 百分位数与四分位数

p-th percentile · Q1 / Q2 / Q3 · IQR · box plot

第 $p$ 百分位数是这样一个值：至少有 $p\%$ 的数据不超过它，且至少有 $(100 - p)\%$ 不小于它。计算时先升序排列，令 $i = n \cdot p\%$ ：若 $i$ 不是整数，向上取整，第 $\lceil i \rceil$ 个数据即为所求；若 $i$ 恰是整数，取第 $i$ 与第 $i+1$ 个的平均。四分位数是最常用的三个百分位数—— $Q_1$ （25%）、中位数 $Q_2$ （50%）、 $Q_3$ （75%），把数据四等分。

图 2-1 · 任意

p

对应的分位值，下方箱线图以五数概括画出整体形状。可拖动滑块改变

p

，或切换数据集与离群值开关。

注 · 箱线图由五数概括（min、 $Q_1$ 、中位数、 $Q_3$ 、max）构成：箱体两端是 $Q_1$ 与 $Q_3$ ，箱内竖线是中位数，箱长即四分位距 $IQR = Q_3 - Q_1$ ，约覆盖中间一半的数据。须线延伸到 $Q_1 - 1.5\,IQR$ 与 $Q_3 + 1.5\,IQR$ 范围内最远的数据，越出者按离群值单独描点。IQR 只由两个分位点决定，对离群值稳健，但并非完全不动：scores 加入离群值后极差从 20 跳到 75，而 IQR 只从 6 变到 7（income 是从 9 变到 10）——样本量改变会挪动分位点的位置。

警示 · 本页的方差按 $s^2 = \frac{1}{n}\sum_i (x_i - \bar{x})^2$ 描述这组数据本身的分散程度。若把样本方差当作对总体方差 $\sigma ^2$ 的估计，则改除以 $n - 1$ 以消除偏差（无偏估计），两种口径的区别见用样本估计总体；连续总体的钟形密度见正态分布。

3 · 参考文献

Central tendency. Wikipedia. 平均数、中位数与众数的定义及适用场合。https://en.wikipedia.org/wiki/Central_tendency
Statistical dispersion. Wikipedia. 极差、方差与标准差。https://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion
Percentile. Wikipedia. 百分位数的多种计算约定。https://en.wikipedia.org/wiki/Percentile
Box plot. Wikipedia. 五数概括、四分位距与须线的 1.5 IQR 约定。https://en.wikipedia.org/wiki/Box_plot