sample → population · 频率分布直方图

用样本估计总体：直方图与样本数字特征

很多时候总体的分布并不知道，只能从中抽取一个有限样本，用样本的信息去估计总体。把样本按数值分组，画出频率分布直方图，其轮廓会随样本量增大而逼近总体的概率密度曲线；再由样本算出样本均值 $\bar{x}$ 与样本方差 $s^2$ ，分别估计总体的期望 $\mu$ 与方差 $\sigma^2$ 。

1 · 频率密度作纵轴的理由

频率密度 = 频率 / 组距

直方图的纵轴若直接用频数或频率，柱高会随组距一起变化，无法和密度曲线比较。改用频率密度（频率 / 组距）作纵轴，落在绘图区间内的柱面积之和为 1，与概率密度同量纲，直方图的轮廓才能与总体的真实密度曲线对齐。样本量 $n$ 越大，轮廓越平稳；组数只改变分辨率，不重新抽样。样本方差 $s^2$ 除以 $n - 1$ 而非 $n$ ，使它成为总体方差 $\sigma^2$ 的无偏估计。

图 1-1 · 频率分布直方图与总体密度曲线的对照。可切换总体分布、调整样本量

n

与组数，观察轮廓如何逼近密度曲线。

警示 ·「总面积恒为 1」只在绘图区间盖住整个总体时才成立。histogram() 会丢弃落在区间外的样本，而分母仍是全样本量，所以面积等于落在区间内的样本占比。均匀总体的采样范围完全含于绘图区间，面积恰为 1；正态总体则不然——取 $\mu = 170$ 、 $\sigma = 8$ 、区间 $[140, 200)$ ， $n = 200000$ 时实测面积 0.999810，有 38 个样本落在了区间外。

直方图的轮廓与样本均值 $\bar x$ 、样本方差 $s^2$ 都是对总体的估计，而非总体本身：换一个样本，柱形与数值都会抖动，只有样本量足够大时才稳定地贴近真值。这是频率与概率（用频率估计概率）在连续量上的推广；若要由成对数据估计变量之间的关系，见最小二乘。

2 · 参考文献

Histogram. Wikipedia. 频率密度作纵轴的理由与组距的选择。https://en.wikipedia.org/wiki/Histogram
Estimator. Wikipedia. 估计量、偏差与无偏性。https://en.wikipedia.org/wiki/Estimator
Bessel correction. Wikipedia. 样本方差除以 $n - 1$ 的理由。https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction