用样本估计总体：直方图与样本数字特征

很多时候总体的分布并不知道，只能从中抽取一个有限样本，用样本的信息去估计总体。把样本按数值分组，画出频率分布直方图，其轮廓会随样本量增大而逼近总体的概率密度曲线；再由样本算出样本均值 x̄ 与样本方差 $s^2$，分别估计总体的期望 $\mu$ 与方差 $\sigma ^2$。下面可以调总体分布、样本量 n 与组数，观察估计如何随之变化。

1 · 频率分布直方图：纵轴用频率密度，才能与密度曲线对齐

直方图的纵轴若直接用频数或频率，柱高会随组距一起变化，无法和密度曲线比较。改用频率密度（频率 / 组距）作纵轴，所有柱子的总面积恒为 1，与概率密度同量纲，直方图的轮廓才能与红色的总体真实密度曲线对齐。样本量 n 越大，轮廓越平稳、对总体的估计越可靠；组数只改变分辨率，不重新抽样。样本方差 $s^2$ 除以 $n - 1$（而非 n），使它成为总体方差 $\sigma ^2$ 的无偏估计。