normal N(μ, σ²) · 3σ 法则

正态分布：钟形曲线与 3σ 法则

正态分布(normal distribution)是连续型随机变量里最常见的一种，记作 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 。它的概率密度是一条对称的钟形曲线，由两个参数完全确定：均值 $\mu$ 决定曲线的中心位置，标准差 $\sigma$ 决定它的胖瘦。密度函数为 $f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x-\mu)^2 / (2\sigma^2)}$ ，其中指数项里的 $-(x-\mu)^2$ 让曲线关于 $x = \mu$ 左右对称，前面的系数 $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$ 保证曲线下总面积恒为 1。

1 · 两个参数的几何作用

f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x-\mu)^2 / (2\sigma^2)}

改变 $\mu$ 只是把整条曲线沿横轴平移，形状丝毫不变；改变 $\sigma$ 则改变曲线的展开程度： $\sigma$ 越小，曲线越尖窄、概率越集中在 $\mu$ 附近，峰值越高； $\sigma$ 越大，曲线越矮宽、概率越分散。无论怎样调整，曲线始终关于 $x = \mu$ 对称，且其下总面积恒为 1，峰值升高必以变窄为代价。

图 1-1 · 同一坐标系里钟形密度曲线随参数的变化。可拖动

\mu

与

\sigma

，观察平移与伸缩，以及

\mu \pm \sigma

处的拐点。

注 · 竖直虚线标出对称轴 $x = \mu$ 与 $\mu \pm \sigma$ 、 $\mu \pm 2\sigma$ 、 $\mu \pm 3\sigma$ 六个位置。它们把横轴按标准差为单位切分——曲线在 $\mu \pm \sigma$ 处恰好是拐点，这正是 $\sigma$ 作为「离散程度」尺度的几何含义。

2 · 3σ 法则与区间概率

68–95–99.7 rule · P(a ≤ X ≤ b)

曲线下某一段的面积，就是随机变量落在该区间的概率 $P(a \le X \le b)$ 。对以 $\mu$ 为中心、宽度按 $\sigma$ 的整数倍取的区间，这个面积只依赖 $k$ ，与 $\mu$ 、 $\sigma$ 无关，这就是 3σ 法则。实测三个值分别是 68.2689%、95.4500%、99.7300%。

图 2-1 · 标准正态

N(0, 1)

上

\pm k

区间的面积。可切换

k

为 1、2、3，面积由对密度的数值积分（梯形法 2000 步）算得。

注 · 这三个数与参数无关，是因为任意 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 都能通过标准化 $Z = (X - \mu)/\sigma$ 化成标准正态 $N(0, 1)$ ，区间 $\mu \pm k\sigma$ 恰好对应 $Z$ 的 $\pm k$ 。正态之所以常见，是因为大量相互独立、方差有限且没有哪一项占主导的微小因素叠加，其和的分布会趋近正态（中心极限定理）——这三个条件缺一不可：独立同分布的 Cauchy 变量之和标准化后仍是 Cauchy，永不趋于正态。二项分布在 $np(1-p)$ 足够大时也近似正态（棣莫弗-拉普拉斯定理）。

3 · 参考文献

Normal distribution. Wikipedia. 密度函数、参数的几何作用与标准化。https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
68–95–99.7 rule. Wikipedia. 三档区间概率的数值与它同参数无关的理由。https://en.wikipedia.org/wiki/68%E2%80%9395%E2%80%9399.7_rule
Central limit theorem. Wikipedia. 中心极限定理的条件，含方差有限这一条。https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem
Cauchy distribution. Wikipedia. 方差不存在时中心极限定理失效的标准反例。https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution