normal N(μ, σ²) · 3σ 法则

正态分布：钟形曲线与 3σ 法则

正态分布(normal distribution)是连续型随机变量里最常见的一种，记作 $X ~ N(\mu , \sigma ^2)$ 。它的概率密度是一条对称的钟形曲线，由两个参数完全确定：均值 $\mu$ 决定曲线的中心位置，标准差 $\sigma$ 决定它的胖瘦。密度函数为 $\phi (x) = 1 / (\sigma \sqrt (2\pi )) \cdot e^(-(x-\mu )^2 / (2\sigma ^2))$ ，其中指数项 $-(x-\mu )^2$ 让曲线关于 $x = \mu$ 左右对称，前面的系数 ${1 / (\sigma \sqrt (2\pi ))}$ 保证曲线下总面积恒为 1。

1 · 密度曲线：μ 定位置、σ 定胖瘦

\varphi(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x-\mu)^2 / (2\sigma^2)}

拖动 $\mu$ 与 $\sigma$ ，观察同一坐标系里钟形曲线的变化。改变 $\mu$ 只是把整条曲线沿横轴平移，形状丝毫不变；改变 $\sigma$ 则改变曲线的展开程度—— $\sigma$ 越小，曲线越尖窄、概率越集中在 $\mu$ 附近，峰值越高； $\sigma$ 越大，曲线越矮宽、概率越分散。无论怎样调整，曲线始终关于 $x = \mu$ 对称，且其下总面积恒为 1（峰值升高必以变窄为代价）。

竖直虚线标出对称轴 $x = \mu$ 与 $\mu \pm \sigma$ 、 $\mu \pm 2\sigma$ 、 $\mu \pm 3\sigma$ 六个位置。它们把横轴按标准差为单位切分——曲线在 $\mu \pm \sigma$ 处恰好是拐点，这正是 $\sigma$ 作为「离散程度」尺度的几何含义。

2 · 3σ 法则与区间概率

68–95–99.7 rule · P(a ≤ X ≤ b)

曲线下某一段的面积，就是随机变量落在该区间的概率 $P(a \le X \le b)$ 。对以 $\mu$ 为中心、宽度按 $\sigma$ 的整数倍取的区间，这个面积与具体的 $\mu$ 、 $\sigma$ 无关，是三个固定的常数，即著名的 3σ 法则。下图用标准正态 N(0, 1) 演示（此时 $a = \mu - k\sigma = -k$ 、 $b = \mu + k\sigma = +k$ ），点击按钮切换 k，阴影区间的面积由对 φ 的数值积分（梯形法，2000 步）算得。

为什么这三个数与参数无关？因为任意 $X ~ N(\mu , \sigma ^2)$ 都能通过标准化 $Z = (X - \mu ) / \sigma$ 化成标准正态 N(0, 1)——区间 $\mu \pm k\sigma$ 恰好对应 Z 的 $\pm k$ ，面积因此不随 $\mu$ 、 $\sigma$ 改变。正态之所以无处不在，是因为大量相互独立的微小因素叠加，其和的分布会趋近正态（中心极限定理的直观）；二项分布与超几何分布中的二项分布在 n 很大时也近似正态（棣莫弗-拉普拉斯定理）。