binomial B(n,p) · hypergeometric

二项分布与超几何分布

袋中有 $N$ 个球，其中 $K$ 个是红球。取出 $n$ 个，记 $X$ 为取到的红球数。取法只差一个动作：放回还是不放回。放回时每次抽取相互独立、红球比例恒为 $p = K/N$ ， $X$ 服从二项分布(binomial distribution) $B(n, p)$ ；不放回时每抽一次就改变袋中构成，各次抽取相互牵制， $X$ 服从超几何分布(hypergeometric distribution)。两者期望相同，而不放回的方差不会更大。

1 · 两种取法与两族分布

X = 取到的红球数 · 放回 → B(n, p) · 不放回 → hypergeometric

每个 $k$ 处并排两根柱：一系是二项 $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ ，另一系是超几何 $P(X = k) = \binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k} \big/ \binom{N}{n}$ 。柱高按两分布的全局最大概率统一缩放，便于逐点对照。

图 1-1 · 二项与超几何分布的逐点并排对照。可拖动袋容量

N

、红球数

K

与取球数

n

，约束

K \le N

与

n \le N

自动生效。

表 1-1 · 两族分布的分布列、期望与方差对照。期望相同，方差相差一个有限总体修正因子。
—	二项 $B(n, p)$ （放回）	超几何（不放回）
$P(X = k)$	$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$	$\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k} \big/ \binom{N}{n}$
$E[X]$	$np$	$nK/N$
$D[X]$	$np(1-p)$	$n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}$

注 · 两分布期望相同，都等于 $nK/N$ ；差别在方差：超几何的 $D[X]$ 比二项多乘一个有限总体修正因子 $(N-n)/(N-1) \le 1$ ，故不放回时取值不会更分散。等号只在 $n = 1$ 时取到——此时只抽一次，放回与否没有区别，实测 $N = 20$ 、 $K = 8$ 下两者的 pmf 逐点相同、方差都是 0.24。 $n = 2$ 时修正因子已是 0.9474， $n = 5$ 时是 0.7895。取球数相对袋容量很小时因子趋近 1，超几何趋近二项 $B(n, K/N)$ ； $n$ 接近 $N$ 时两条分布明显分离。关于 $C(n, k)$ 的来历见排列组合（C(n,k) 的来历），二项分布的更多性质见排列组合系列的二项分布页。

2 · 参考文献

Hypergeometric distribution. Wikipedia. 不放回抽样的分布列、期望与方差。https://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_distribution
Binomial distribution. Wikipedia. 放回抽样对应的二项分布。https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution
Finite population correction. Wikipedia. 有限总体修正因子的来历与取值范围。https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error