binomial B(n,p) · hypergeometric

二项分布与超几何分布

袋中有 N 个球，其中 K 个是红球。取出 n 个，记 X 为取到的红球数。取法只差一个动作：放回还是不放回。放回时每次抽取相互独立、红球比例恒为 p = K/N，X 服从二项分布(binomial distribution) B(n, p)；不放回时每抽一次就改变袋中构成，各次抽取相互牵制，X 服从超几何分布(hypergeometric distribution)。两者期望相同，但不放回的方差更小。

1 · 放回给出二项，不放回给出超几何

X = 取到的红球数 · 放回 → B(n, p) · 不放回 → hypergeometric

拖动三个滑块调整袋容量 N、红球数 K 与取球数 n（约束 $K \le N$ 、 $n \le N$ 自动生效）。每个 k 处并排两根柱：实心一系是二项 $P(X=k) = C(n,k)\cdot p^k\cdot (1-p)^(n-k)$ ，另一系是超几何 $P(X=k) = C(K,k)\cdot C(N-K,n-k) / C(N,n)$ 。柱高按两分布的全局最大概率统一缩放，便于逐点对照。

—	二项 B(n, p)（放回）	超几何（不放回）
P(X=k)	C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)	C(K,k)·C(N−K,n−k) / C(N,n)
E[X]	n·p	n·K/N
D[X]	n·p·(1−p)	n·(K/N)(1−K/N)·(N−n)/(N−1)

两分布期望相同，都等于 $n\cdot K/N$ ；差别在方差：超几何的 $D[X]$ 比二项多乘一个有限总体修正因子 $(N-n)/(N-1) < 1$ ，故不放回时取值更集中。当取球数相对袋容量很小( $n \ll N$ )，修正因子趋近 1，超几何分布趋近二项分布 B(n, K/N)；反过来当 n 接近 N，不放回的约束显著，两条分布明显分离。关于 C(n,k) 的来历见排列组合（C(n,k) 的来历），二项分布的更多性质见排列组合系列的二项分布页。