two-point 0-1 · Bernoulli trials

两点分布与 n 重伯努利试验

最简单的随机变量只有两个取值。抛一枚硬币、检验一件产品是否合格、一次投篮是否命中——结果非此即彼，把「成功」记作 $1$ 、「失败」记作 $0$ ，就得到一个只取 $0$ 与 $1$ 的随机变量，它服从两点分布(two-point distribution)，又称 0-1 分布或伯努利分布(Bernoulli distribution)。把这样一次只有两种结果、成功概率恒为 $p$ 的试验独立重复 $n$ 次，就是 n 重伯努利试验；其中成功的总次数服从二项分布 $B(n, p)$ 。本页先看清这枚原子，再把它累加成二项分布。

1 · 只取 0 与 1 的随机变量

P(X{=}1) = p

E[X] = p

D[X] = p(1-p)

设一次试验成功的概率为 $p$ ，失败的概率为 $q = 1 - p$ 。随机变量 $X$ 在成功时取 1、失败时取 0，分布列只有两列。它的期望 $E[X] = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p$ ，方差 $D[X] = (0-p)^2 q + (1-p)^2 p = p(1-p)$ 。方差在 $p = 0.5$ 处最大，此时结果最不确定；越靠近 0 或 1，结果越确定，方差越小。

图 1-1 · 两点分布的两根柱与期望、方差读数。可拖动

p

，观察方差在

p = 0.5

处取到最大值。

注 · 两点分布是所有离散分布里最简单的一个，却是二项分布的基本单元。它把一次「成功 / 失败」试验的全部信息压缩成一个参数 $p$ ：期望 $p$ 就是长期的成功比例，方差 $p(1-p)$ 度量单次结果的波动。分布列、期望与方差的一般定义见离散型随机变量。

2 · n 重伯努利试验

X = X_1 + \cdots + X_n \sim B(n, p)

把同一个两点分布试验独立重复 $n$ 次，第 $i$ 次的结果记为 $X_i$ （取 $0$ 或 $1$ ）。成功的总次数 $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ 服从二项分布 $B(n, p)$ 。恰好成功 $k$ 次，要从 $n$ 次里选出哪 $k$ 次成功（ $C(n, k)$ 种），每种的概率是 $p^k\cdot (1-p)^{n-k}$ ，故 $P(X = k) = C(n, k)\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$ 。 $n = 1$ 时它就是 §1 的两点分布（仅 0、1 两根柱）； $n$ 增大，两根柱逐步累加、聚拢成中间高两端低的形状。

图 2-1 · 二项分布的分布列随

n

的变化。可拖动

n

，

n = 1

时退化为两点分布。

注 · 期望与方差不必对分布列硬算，由累加直接得到：期望满足可加性， $E[X] = E[X_1] + \cdots + E[X_n] = n\cdot p$ ；各次试验相互独立，方差也可加， $D[X] = D[X_1] + \cdots + D[X_n] = n\cdot p(1-p)$ 。这正是二项分布期望 $n\cdot p$ 、方差 $n\cdot p(1-p)$ 的由来——每一份都来自一枚两点分布原子。

警示 ·「独立重复」是二项分布的前提。若改成不放回地抽取，各次试验不再独立、成功概率逐次改变，总次数就不再服从二项分布，而是超几何分布，两者的并排对照见二项分布与超几何分布。另外，二项分布趋近钟形的条件是 $np(1-p)$ 足够大（常用判据是不小于 10），而不是 $n$ 大： $n = 1000$ 、 $p = 0.001$ 时 $n$ 已极大， $np(1-p) \approx 1$ ，分布右偏、趋近的是泊松分布而非正态分布（棣莫弗-拉普拉斯定理）。

3 · 参考文献

Bernoulli distribution. Wikipedia. 两点分布的期望与方差。https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_distribution
Bernoulli trial. Wikipedia. 独立重复试验的前提。https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_trial
Binomial distribution. Wikipedia. 二项分布的分布列、期望与方差。https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution
De Moivre–Laplace theorem. Wikipedia. 二项趋近正态的条件。https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%E2%80%93Laplace_theorem