two-point 0-1 · Bernoulli trials

两点分布与 n 重伯努利试验

最简单的随机变量只有两个取值。抛一枚硬币、检验一件产品是否合格、一次投篮是否命中——结果非此即彼，把「成功」记作 1、「失败」记作 0，就得到一个只取 0 与 1 的随机变量，它服从两点分布(two-point distribution)，又称 0-1 分布或伯努利分布(Bernoulli distribution)。把这样一次只有两种结果、成功概率恒为 p 的试验独立重复 n 次，就是 n 重伯努利试验；其中成功的总次数正是二项分布 B(n, p)。本页先看清这枚原子，再把它累加成二项分布。

1 · 两点分布：只取 0 与 1 的随机变量

P(X=1) = p · P(X=0) = 1 − p · E[X] = p · D[X] = p(1−p)

设一次试验成功的概率为 p，失败的概率为 $q = 1 - p$ 。随机变量 X 在成功时取 1、失败时取 0，分布列只有两列。它的期望 $E[X] = 0\cdot q + 1\cdot p = p$ ，方差 $D[X] = (0-p)^2\cdot q + (1-p)^2\cdot p = p(1-p)$ 。拖动 p，观察两根柱的高低与期望、方差随之变化——方差在 p = 0.5 处最大，此时结果最不确定；越靠近 0 或 1，结果越确定，方差越小。

两点分布是所有离散分布里最简单的一个，却是二项分布的基本单元。它把一次「成功 / 失败」试验的全部信息压缩成一个参数 p：期望 p 就是长期的成功比例，方差 $p(1-p)$ 度量单次结果的波动。分布列、期望与方差的一般定义见离散型随机变量。

2 · n 重伯努利试验：把两点分布累加 n 次

X = X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ ~ B(n, p) · P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ

把同一个两点分布试验独立重复 n 次，第 i 次的结果记为 $X_i$ （取 0 或 1）。成功的总次数 $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ 服从二项分布 B(n, p)。恰好成功 k 次，要从 n 次里选出哪 k 次成功（C(n, k) 种），每种的概率是 $p^k\cdot (1-p)^{n-k}$ ，故 $P(X = k) = C(n, k)\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$ 。拖动 n：n = 1 时它就是上一节的两点分布（仅 0、1 两根柱）；n 增大，两根柱逐步累加、聚拢成中间高两端低的形状。

期望与方差不必对分布列硬算，由累加直接得到：期望满足可加性， $E[X] = E[X_1] + \cdots + E[X_n] = n\cdot p$ ；各次试验相互独立，方差也可加， $D[X] = D[X_1] + \cdots + D[X_n] = n\cdot p(1-p)$ 。这正是二项分布期望 $n\cdot p$ 、方差 $n\cdot p(1-p)$ 的由来——每一份都来自一枚两点分布原子。

「独立重复」是二项分布的前提。若改成不放回地抽取，各次试验不再独立、成功概率逐次改变，总次数就不再服从二项分布，而是超几何分布——两者的并排对照见二项分布与超几何分布。而当 n 很大时，二项分布的形状趋近连续的钟形，即正态分布（棣莫弗-拉普拉斯定理）。