geometric model · 长度 / 面积 / 体积之比

几何概型：以测度之比定概率

古典概型有两条前提：结果有限、各结果等可能，见随机事件、样本空间与古典概型。把骰子换成「在一根一米长的绳子上随机剪一刀」，第一条立刻失效。样本空间是一整段连续区间，样本点有不可数无穷多个，任一单点的概率只能取 $0$ ， $|A| / |\Omega|$ 变成 $\infty / \infty$ 。可算的量不再是个数，而是测度（measure）：长度、面积、体积。几何概型把概率定义成事件所占测度与整个样本空间测度之比。它看上去只是把「数格子」换成「量大小」，但对「等可能」的要求比古典概型隐蔽得多，贝特朗悖论（Bertrand paradox）会把这一点摊开。

1 · 概率的测度定义

P(A) = μ(A) / μ(Ω)

定义 1.1（几何概型） 设样本空间 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中一个可测集，其 $d$ 维测度 $\mu(\Omega)$ 有限且非零。若随机点落进任一可测子集 $A \subseteq \Omega$ 的概率只依赖于 $\mu(A)$ 、与 $A$ 的位置和形状无关，则称该试验服从几何概型，且 $P(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}.$

定义里的三处限定各挡掉一类失败。 $\mu(\Omega)$ 有限，否则比值无从定义，在整条实轴上取一个「随机实数」就不是几何概型。 $A$ 须可测，否则 $\mu(A)$ 根本不存在；这在中学层面遇不到，却是概率论要建在测度论之上的原因。概率只依赖测度而与位置形状无关，这是古典概型里「等可能」的连续版本，它要求随机点在 $\Omega$ 上均匀分布。

三个维度各有一个标准例子。一维：某路公交每 15 分钟发一班，乘客到站时刻在一个班次间隔内均匀分布，等车不超过 5 分钟的概率就是长度比 $5/15 = 1/3$ 。二维与三维分别取正方形与其内切圆、正方体与其内切球，比值为 $\pi/4 \approx 0.7854$ 与 $\pi/6 \approx 0.5236$ 。后两个数含 $\pi$ ，这也是随机模拟能反过来估 $\pi$ 的出发点，见随机数与随机模拟。

图 1-1 · 一维线段、二维正方形与三维正方体上的测度之比，随机点落进阴影区域的频率与之对照。可切换维度，并调节一维情形里的等车时长。

2 · 会面问题

|x − y| ≤ t · 二维面积模型

甲乙约定某小时内在某处见面，各自的到达时刻在这 60 分钟内均匀分布且互不影响，先到者至多等 15 分钟便离开。求两人能见面的概率。

一维的长度模型不够用：一次试验的结果是一对到达时刻 $(x, y)$ ，样本空间是边长 60 的正方形，测度取面积 $\mu(\Omega) = 3600$ 。「两人到达时刻相互独立且各自均匀」这句话把二维联合分布铺成了正方形上的均匀分布，也只有这样才谈得上按面积算概率。见面的条件写成 $|x - y| \le 15$ ，在正方形里是一条沿对角线的带；它的补集是两个直角边长 45 的等腰直角三角形，面积合计 $2 \times 45^2/2 = 2025$ 。于是

P = 1 - \frac{2025}{3600} = 1 - \left(\frac{45}{60}\right)^2 = \frac{7}{16} = 0.4375.

一般地，等待时长 $t$ 、时间窗 $T$ 下 $P = 1 - ((T-t)/T)^2$ 。这个式子对 $t$ 是凹的：等待时长由 0 增到 15 分钟，见面概率涨 0.4375；由 45 分钟增到 60 分钟，只涨 0.0625。愿意多等的前几分钟最值钱。用 core/probstat.ts 的 meetFrequency 各撒 100 万对到达时刻，三个 seed 给出 0.437597、0.438022、0.436489，闭式解 0.4375 落在其中。

图 2-1 · 会面问题的正方形样本空间与对角带

|x - y| \le t

。可拖动等待时长观察带宽与面积比的变化，撒点后对照实测频率。

3 · 贝特朗悖论的三个答案

1/3 · 1/2 · 1/4

在单位圆内随机取一条弦，它比该圆内接正三角形的边长 $\sqrt{3}$ 更长的概率是多少？1889 年 Bertrand 给出三种解法，各自算得一个不同的数 [1]。

3.1 · 圆周上的两个端点

弦由圆周上两点确定，让两个端点在圆周上独立均匀分布。固定第一个端点，以它为顶点作内接正三角形，另两个顶点把圆周分成三段 $120^\circ$ 的弧。弦长超过 $\sqrt{3}$ 当且仅当另一端点落在对面那段弧上，概率 $120/360 = 1/3$ 。

3.2 · 半径上的中点

弦也可由它的中点唯一确定（中点在圆心时取任一直径）。先随机取一条半径的方向，再让中点沿这条半径均匀分布。中点到圆心的距离为 $d$ 时弦长为 $2\sqrt{1-d^2}$ ，它超过 $\sqrt{3}$ 当且仅当 $d < 1/2$ ，而 $d$ 在 $[0, 1]$ 上均匀，概率 $1/2$ 。

3.3 · 圆盘内的中点

同样用中点定弦，但让中点在整个圆盘内均匀分布。条件仍是 $d < 1/2$ ，即中点落进半径 $1/2$ 的同心圆盘，按面积比得 $(1/2)^2 = 1/4$ 。

三段推导都没有算错。用 bertrandChord 各取 100 万条弦（可播种发生器 mulberry32，seed 依次取 1、2、3），长于 $\sqrt{3}$ 的频率分别是：3.1 节的取法 0.333056 / 0.332750 / 0.333369，3.2 节 0.500176 / 0.499662 / 0.499860，3.3 节 0.250970 / 0.250089 / 0.250542。三条频率曲线各自收敛到三个不同的常数。

图 3-1 · 贝特朗悖论三种取法的弦分布与实时频率，虚线三角形给出长度门槛

\sqrt 3

。可持续取弦，观察三个频率分别稳定在 1/3、1/2 与 1/4。

警示 · 3.3 节那种取法的实现里埋着一个坑。「圆盘内均匀取点」若写成极坐标下 $r$ 在 $[0, 1]$ 均匀、 $\theta$ 在 $[0, 2\pi)$ 均匀，得到的并不是圆盘上的均匀分布，而是 3.2 节的分布： $r$ 均匀就是「沿半径均匀」。圆盘均匀要求 $r = \sqrt{U}$ ，或者在外接正方形里做拒绝采样。这段代码看不出错，也不抛异常，只有把频率打出来才发现它稳定停在 0.5 而不是 0.25。core/probstat.ts 把这个错法保留成 midpointNaive，并让它与 radius 共用同一条分支，因为二者本就是同一个分布；单测里锁住了这条断言。

4 · 「等可能」对参数化的依赖

三个答案都对，因为「随机取一条弦」这句话并没有指定在哪个空间上均匀。三种取法分别在圆周的角度上、半径的长度上、圆盘的面积上均匀，是三个不同的概率模型，只是共用了同一句自然语言描述。定义 1.1 里的 $\mu$ 是给定的；一旦「随机」二字要先经过一次参数化才落到具体的 $\mu$ 上，参数化本身就成了模型的一部分，必须写明。

换成物理实现，分歧一望即知：在圆周上撒两枚点并连线，对应 3.1 节；把一根长直尺沿固定方向平移着随机停下、截出一条弦，对应 3.2 节；朝圆盘随机砸一点、以它为中点作弦，对应 3.3 节。三种做法在实验台上是三件不同的事，得出不同的频率毫不奇怪。

Jaynes 在 1973 年提出一条补充要求 [2]：题面只说「圆内的随机弦」而未指定圆的位置与大小，那么答案理应对平移、旋转与伸缩都不变。他证明满足这三条不变性的弦分布唯一，正是 3.2 节那一种，答案 $1/2$ 。这不是说另外两个错，而是说原题本不适定，补上不变性要求之后才有唯一解。

古典概型里的等可能能靠对称性落实：骰子的六个面在几何上互相等价，把概率均摊给它们有依据。连续样本空间没有这样的现成对称性可用，「均匀」必须由建模者指定在哪个坐标下成立。这一层在中学教材里通常被略过，而它是几何概型与古典概型之间真正的分界。

5 · 参考文献

Bertrand, J. (1889). Calcul des probabilités. Gauthier-Villars, 4–5.
Jaynes, E. T. (1973). The well-posed problem. Foundations of Physics, 3(4), 477–492.