sample space · P(A) = |A| / |Ω|

随机事件、样本空间与古典概型

要谈「某件事有多大可能发生」，先得把一次试验所有可能的结果摆清楚。掷一枚骰子，结果是 $1$ 到 $6$ ；掷两枚，结果是一对点数 $(i, j)$ 。这些结果的全体构成样本空间(sample space) $\Omega$ ，其中每一个结果是一个样本点。随机事件就是 $\Omega$ 的一个子集——「和为 $7$ 」对应 $\Omega$ 里那几个满足条件的样本点。当结果有限且等可能，概率便退化成最朴素的古典概型：数出有利结果占几格，除以总格数。

1 · 样本空间与样本点

Ω = {(i, j) | 1 ≤ i, j ≤ 6}，|Ω| = 36

掷两枚可区分的骰子（第一枚 $i$ 、第二枚 $j$ ），一个格子 $(i, j)$ 就是一个样本点。行看第一枚、列看第二枚，共 $6 \times 6 = 36$ 个等可能的结果。整张格阵就是样本空间 $\Omega$ ；必然事件是 $\Omega$ 自身（ $P = 1$ ），不可能事件是空集 $\emptyset$ （ $P = 0$ ），任何随机事件都夹在两者之间。

图 1-1 · 掷两枚可区分骰子的 6×6 样本空间格阵，一格一个样本点。行看第一枚、列看第二枚。

2 · 古典概型：P(A) = |A| / |Ω|

classical model · 有利结果 / 全部结果

格阵里满足某事件的样本点即它的有利结果。因为 36 个结果等可能，事件 $A$ 的概率就是有利结果数占全部结果数的比例 $P(A) = |A| / |\Omega|$ ，与具体是哪几格无关，只数个数。

图 2-1 · 选定事件后被高亮的有利结果与算出的概率。可切换事件，观察有利格数与概率同步变化。

注 · 古典概型的前提是有限且等可能，二者缺一不可。若骰子被灌铅、各面不再等可能，就不能再用 $|A| / |\Omega |$ 数格子，而要回到用频率去估计每个结果的概率——这正是频率与概率要处理的情形。

3 · 参考文献

Sample space. Wikipedia. 样本空间、样本点与事件的基本约定。https://en.wikipedia.org/wiki/Sample_space
Classical definition of probability. Wikipedia. 古典概型的两条前提与它的局限。https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_definition_of_probability
Event (probability theory). Wikipedia. 事件作为样本空间子集的定义。https://en.wikipedia.org/wiki/Event_(probability_theory)