长除法 · 循环节

有理数与小数展开

有理数是能写成 $p/q$ 的数（ $p$ 、 $q$ 为整数且 $q \ne 0$ ）。把这个分数按长除法展开成小数，得到的形态只有两种：有限，或者从某位起无限循环。无限不循环的展开被排除在外，这条排除的理由短得出乎意料——只需数一数余数能取几个值。

本页给出这条等价的两个方向，再往下问一个更细的问题：循环节有多长？答案不在长除法里，而在分母的因数分解与一个模运算的阶上。

1 · 长除法的余数与鸽巢原理

长除法的每一步都是同一个动作：把当前余数乘 $10$ ，除以 $q$ ，商得一位小数，留下新余数。新余数是「乘 $10$ 之后对 $q$ 取余」的结果，只能落在 $\{0, 1, \dots, q-1\}$ 这 $q$ 个值里。

定理 1.1 任何有理数 $p/q$ 的十进制展开或是有限小数，或是从某位起无限循环的小数。

证明展开的每一步由当前余数唯一决定：余数相同则此后的商位与余数序列完全相同。余数取值只有 $q$ 种，故前 $q+1$ 步里必有两步的余数相同（鸽巢原理）。若中途出现余数 $0$ ，展开终止，得有限小数；否则某个余数第二次出现，从它起整段重复，两次出现之间的那串商位即循环节。∎

图 1-1 ·

p/q

的长除法逐步展开，右侧表格记录每一步的余数、商位与新余数；某个余数再次出现时，商里对应的一段以顶部横线标出。可调

p

、

q

或点选预设分数。

这条论证只用到余数的取值个数，与十进制没有关系。换成二进制，余数照样只有 $q$ 种，结论同样成立，只是「有限」的判据从「分母只含 $2$ 与 $5$ 」换成「分母只含 $2$ 」。这个换底的后果在浮点数：实数在代码里的残影里有直接的用处。

警示 · 引擎最初只在非负输入上验过。computeLongDivision(-1, 2) 返回的 digit 是 $-5$ ，decimalString 把它拼成了字面的 -1.-5：JS 的 % 对负数给出负余数，负号一路渗进了每一位商。lab 把分子的输入下界钉在 $0$ ，所以页面上从未暴露过。现在展开只在绝对值上做，符号单独记在 negative 字段里。

2 · 循环小数还原成分数

反方向同样成立：任何有限小数或循环小数都是有理数。有限小数直接按位数取分母， $0.75 = 75/100 = 3/4$ 。循环小数的标准手法是错位相减——乘上 $10$ 的适当次幂使两式的循环部分对齐，相减即把无限的尾巴消掉。

例 2.1 设 $x = 0.12\overline{34}$ ，即 $0.12343434\dots$ 。前置段长 $2$ 、循环节长 $2$ ，故取 $10^2$ 与 $10^4$ 两个倍数： $10^4 x = 1234.3434\dots$ ， $10^2 x = 12.3434\dots$ ，相减得 $9900x = 1222$ ，即 $x = 611/4950$ 。

同一个结果也可以由等比数列求和给出： $0.12\overline{34}$ 的循环部分是首项 $34/10^4$ 、公比 $10^{-2}$ 的等比数列之和，即 $(34/10^4) \cdot \frac{1}{1 - 10^{-2}} = 34/9900$ ，加上前置段 $12/100$ 得同一个分数（等比数列求和的公式见等比数列与前 n 项和）。两条路殊途同归：错位相减是把求和公式的推导过程就地做了一遍。

小数展开的形态与数系归属一一对应，判据是「是否无限且不循环」，与小数位的多少无关。
小数展开形态	例子	归类
有限小数	$0.5$ 、 $0.75$	有理数
无限循环小数	$0.333\dots$ 、 $22/7 = 3.142857\,142857\dots$	有理数
无限不循环小数	$\sqrt 2 = 1.41421356\dots$ 、 $\pi = 3.14159265\dots$	无理数

3 · 循环节的长度

定理 1.1 只保证循环会出现，没说循环节有多长。这件事完全由约到最简之后的分母决定，而且分工清楚：把分母写成 $q = 2^a 5^b q'$ ，其中 $q'$ 与 $10$ 互素。

定理 3.1 设 $p/q$ 已约到最简， $q = 2^a 5^b q'$ 且 $\gcd(q', 10) = 1$ 。则前置非循环段的长度为 $\max(a, b)$ ，循环节的长度为 $10$ 在模 $q'$ 下的乘法阶，即使 $10^k \equiv 1 \pmod{q'}$ 成立的最小正整数 $k$ 。 $q' = 1$ 时展开有限。

由此得到纯循环与混循环的分界： $a = b = 0$ （分母不含 $2$ 与 $5$ ）时小数点后立刻进入循环，称纯循环小数；否则前 $\max(a, b)$ 位不参与循环，称混循环小数。 $1/7$ 纯循环， $1/14 = 0.0\overline{714285}$ 混循环且前置段一位， $1/28$ 前置段两位——三者的循环节都是 $6$ 位，因为剥掉 $2$ 与 $5$ 之后剩下的都是 $7$ 。

图 3-1 · 分母的因数分解、前置段与循环节长度，以及

q

从

2

到

121

的循环节长度色块阵列（颜色越深越长，白格为有限小数）。可点选任一格或直接输入分母。

循环节长度的上限是 $q' - 1$ ，在 $10$ 是模 $q'$ 的原根时取到： $1/7$ 长 $6$ 、 $1/17$ 长 $16$ 、 $1/97$ 长 $96$ 、 $1/193$ 长 $192$ 。这样的素数在 $200$ 以内共 $17$ 个： $7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193$ 。上限之外的情形更常见，而且落差可以很大： $1/13$ 的循环节是 $6$ 而不是 $12$ ， $1/101$ 只有 $4$ ； $239$ 是素数， $238 = 2 \times 7 \times 17$ 有六个因数， $10$ 的阶取到了其中最小的 $7$ ，于是 $1/239$ 的循环节只有 $7$ 位。阶必整除 $\varphi(q')$ ，具体落在哪个因数上要算过才知道。

core/real-numbers.ts 里的长除法设了 $200$ 步上限， $q = 223$ 是第一个展不完的分母（ $1/223$ 的循环节长 $222$ ）。这条上限比看起来更容易撞上：lab 允许的分母到 $9999$ ，其中 $5217$ 个（ $52.2\%$ ）的展开超过 $200$ 位，最长的是 $1/9967$ ，循环节 $9966$ 位。定理 3.1 那条路不做除法，只做一次因数分解与一次求阶，因此色块阵列上每一格都算得出来，长除法那一栏则会截断显示并注明未闭合。

4 · 等于一的那个循环小数

$0.999\dots = 1$ 是严格相等，不是「无限接近」。至少有三条独立的论证。

错位相减：设 $x = 0.999\dots$ ，则 $10x = 9.999\dots$ ，两式相减得 $9x = 9$ ，故 $x = 1$ 。

等比数列求和： $0.999\dots$ 是首项 $9/10$ 、公比 $1/10$ 的无穷等比数列之和， $\frac{9/10}{1 - 1/10} = 1$ 。

反证：若 $x = 0.999\dots$ 与 $1$ 不等，则 $1 - x$ 是一个正数，必存在正整数 $n$ 使 $1 - x > 10^{-n}$ 。但 $x$ 的前 $n$ 位小数全是 $9$ ，故 $x \ge 1 - 10^{-n}$ ，即 $1 - x \le 10^{-n}$ ，矛盾。

这条等式说明十进制表示不是一一对应的：分母只含 $2$ 与 $5$ 的分数各有两种无限小数写法，一种以 $0$ 结尾、一种以 $9$ 结尾（ $0.5 = 0.4999\dots$ ）。除此之外没有别的重复写法，所以「小数展开」与「实数」之间那个几乎是双射的对应，差的仅是这一族可数多个点。反过来看，本页的还原公式在 $0.\overline{9}$ 上给出的分数是 $1/1$ 而不是别的什么，单测把这一条钉住了。

5 · 参考文献

Repeating decimal. Wikipedia. 循环小数的记法、还原公式与循环节长度。https://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
Multiplicative order. Wikipedia. 乘法阶的定义与它整除 $\varphi(n)$ 这一性质。https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_order
Full reptend prime. Wikipedia. 使 $10$ 成为原根的素数，即循环节取到上限的那些分母。https://en.wikipedia.org/wiki/Full_reptend_prime
0.999…. Wikipedia. 这条等式的多种证明与常见误解。https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...