ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

数轴与数系的四层嵌套

数从数数开始。此后每一次扩充都由一件做不成的事推动：自然数里减法可能无解，整数里除法可能无解，有理数里开方与取极限可能无解。本页排出这四层的嵌套关系，交代每一层补上了哪种封闭性，再看有理数在数轴上的分布——处处都有，却没能占住每个点。

小数展开的形态、无理性的证明、以及那些空位如何补上，分别在有理数与小数展开、无理数：反证、递降与超越与实数的完备性三页。

1 · 数系的嵌套层级

数系层层包含：自然数 $\mathbb{N}$ 在整数 $\mathbb{Z}$ 里，整数在有理数 $\mathbb{Q}$ 里，有理数又在实数 $\mathbb{R}$ 里；无理数是 $\mathbb{R}$ 里去掉 $\mathbb{Q}$ 剩下的部分，记作 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 。判断一个数属于哪种，就是找它能落进的最靠里的一层。

本系列采用 $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$ 的约定，自然数含 $0$ 。另有两处容易看走眼：根号不等于无理，被开方数是完全平方数时结果仍是整数， $\sqrt 9 = 3$ 落回 $\mathbb{N}$ ； $22/7$ 写成小数虽然无限，却是循环的，仍属 $\mathbb{Q}$ 。

图 1-1 · 十二个数各自最靠里的归属层。可点选任一数查看判定理由，

\sqrt 9

与

22/7

两个是常见的误判点。

2 · 运算的封闭性与扩张的动因

一个数集对某种运算封闭，指的是任取集内两数做这个运算，结果仍在集内。四层嵌套的次序不是随手排的，每一层都恰好补齐了上一层缺的那一种封闭性。

每一次扩张各自解决的封闭性，以及上一层里那个无解的例子。
数系	新补上的封闭性	上一层的反例
$\mathbb{N}$	加法、乘法	无
$\mathbb{Z}$	减法	$3 - 5$ 在 $\mathbb{N}$ 内无解
$\mathbb{Q}$	除法（除数非零）	$1 \div 3$ 在 $\mathbb{Z}$ 内无解
$\mathbb{R}$	非负数开方、单调有界序列取极限	$x^2 = 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 内无解

前三步的动因都是代数的：某个方程在旧集里无解，把解添进来就得到新集。 $\mathbb{Q}$ 走完了这条路——加、减、乘、除四种运算在 $\mathbb{Q}$ 内全部封闭，它已经是一个域。 $\mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{R}$ 这一步的性质不同：缺的不再是某个具体方程的解，而是「取极限」这个动作的落点。这是后面两页的主题。

注 · 扩张并非只赚不赔。从 $\mathbb{N}$ 到 $\mathbb{R}$ 的四层里，序关系与四则运算的相容性一直保留着；再往下扩到复数时这条就保不住了，复数集上装不出与乘法相容的序（见复数的概念与复平面）。每次扩张换来一种封闭性，代价要单独结算。

3 · 有理数的稠密性

定义 3.1（稠密） 数集 $S$ 在数轴上稠密，指任取两个不相等的实数 $a < b$ ，开区间 $(a, b)$ 内总有 $S$ 的元素。

定理 3.2 $\mathbb{Q}$ 在数轴上稠密，且任意两个有理数之间有无穷多个有理数。

证明设 $a < b$ 均为有理数。中点 $(a+b)/2$ 由一次加法与一次除以 $2$ 得到，两种运算在 $\mathbb{Q}$ 内封闭，故它也是有理数，且严格落在 $a$ 与 $b$ 之间。对 $a$ 与这个中点再取中点，得到第二个；如此下去，每一个都严格大于 $a$ 、严格小于前一个，两两不等。这个过程没有终止条件，故区间内的有理数有无穷多个。∎

图 3-1 · 区间内逐次取中点得到的有理数，以及分母最小的那一个（橙色虚线）。可切换区间并调取点个数，读数栏给出末项的分母位数。

稠密说的是「哪儿都有」，没说「随便哪个分数都行」。区间一窄，落在里面的分数分母就必须够大： $1/3$ 与 $1/2$ 之间分母最小的是 $2/5$ ，而 $3.14$ 与 $3.15$ 之间分母最小的是 $22/7$ ， $3.141592$ 与 $3.141593$ 之间是 $355/113$ ——这两个正好是历史上最有名的两个圆周率近似分数。这批数由 simplestBetween 在 Stern–Brocot 树上做中位数下降算出，实测的一处意外是 $1.414$ 与 $1.415$ 之间：分母最小的不是熟脸 $99/70$ ，而是 $58/41$ ， $99/70$ 只是分母第二小的那个。

另一头的代价也能量出来。从 $1/3$ 与 $1/2$ 出发逐次取中点，分母按 $2$ 的幂增长，第 $14$ 个中点已经是 $10923/32768$ ，分母 $5$ 位。要在一个宽度为 $\varepsilon$ 的区间里找有理数，分母大约得到 $1/\varepsilon$ 这个量级。

稠密不等于填满。数轴上仍有位置没被任何有理数占住，最短的例子是平方等于 $2$ 的那个点。这件事的证明在无理数：反证、递降与超越，而「补上全部空位」这个要求的严格形式在实数的完备性。

4 · 参考文献

Number. Wikipedia. 各类数系的定义与它们的包含关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Number
Dense set. Wikipedia. 稠密的一般定义，以及有理数在实数中稠密的证明。https://en.wikipedia.org/wiki/Dense_set
Stern–Brocot tree. Wikipedia. 中位数下降与「区间内分母最小的分数」。https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Brocot_tree
Closure (mathematics). Wikipedia. 运算封闭性的定义与常见例子。https://en.wikipedia.org/wiki/Closure_(mathematics)