√2 · 有理根定理

无理数：反证、递降与超越

有理数的小数展开必为有限或循环（见有理数与小数展开），所以要证一个数不是有理数，等价于证它的展开无限且不循环。但直接盯着小数位看不出结果——那是无穷多位的性质。可行的路线是反过来：假设它能写成分数，再把这个假设推到矛盾。

本页给 $\sqrt 2$ 两条互相独立的反证，再由有理根定理把结论一次推广到一大类数，最后交代「无理」之下还有一层更细的分层。

1 · 最简分数的奇偶矛盾

定理 1.1 $\sqrt 2$ 不是有理数。

证明反设 $\sqrt 2 = p/q$ ，其中 $p$ 、 $q$ 为正整数且 $\gcd(p, q) = 1$ （任何分数都能约到这一步）。两边平方得 $p^2 = 2q^2$ ，故 $p^2$ 为偶数。整数的平方为偶则该整数为偶，故 $p$ 为偶，记 $p = 2k$ 。代回得 $4k^2 = 2q^2$ ，即 $q^2 = 2k^2$ ，同理 $q$ 也为偶。 $p$ 与 $q$ 都能被 $2$ 整除，与 $\gcd(p, q) = 1$ 冲突。反设不成立。∎

整条链只用到一条引理：整数平方为偶则该整数为偶。它本身由「奇数的平方是奇数」直接给出， $(2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$ 。

图 1-1 · 定理 1.1 的六步反证：反设最简分数、平方、推出

p

为偶、推出

q

也为偶、与最简性矛盾、否定反设。可逐步展开或一次全开。

这条证明的支点是「已经约到最简」这个前提。换个说法：假设存在最小的那个解，再造出更小的解。下一节把这个说法单独拿出来做成一条不依赖奇偶的证明。

2 · 无穷递降

定理 2.1 方程 $p^2 = 2q^2$ 没有正整数解。

证明设 $(p, q)$ 是一个正整数解。直接验算得 $(2q - p)^2 - 2(p - q)^2 = 2q^2 - p^2 = 0$ ，故 $(2q - p, p - q)$ 也是解。由 $p^2 = 2q^2$ 知 $q < p < 2q$ ，从而 $0 < p - q < q$ ：新解的第二个分量严格小于原来的。从任一解出发无限做下去，得到一列严格递减的正整数，而正整数集里没有无限递减列，矛盾。∎

这条论证有一个不用代数的读法。 $q$ 与 $p$ 若是某个等腰直角三角形的直角边与斜边，那么在斜边上截出长度 $q$ 的一段并作垂线，得到的小三角形仍是等腰直角三角形，直角边 $p - q$ 、斜边 $2q - p$ ，边长仍是整数。整数边长的等腰直角三角形因此可以一直缩小下去，而边长是正整数，缩不了几轮就撞底。

图 2-1 · 共用直角顶点的一组嵌套等腰直角三角形，右侧表格给出每一级的边长与

p^2 - 2q^2

。可切换起点并逐级下降，观察这个差值只在

+1

与

-1

之间来回。

真正的解并不存在，所以要把递降真的跑一遍，起点只能取 Pell 方程 $p^2 - 2q^2 = \pm 1$ 的解，也就是「差一点点」的整数三角形。实跑 descentChain(99, 70) 的链条是 $99/70 \to 41/29 \to 17/12 \to 7/5 \to 3/2 \to 1/1$ ，链长 $6$ 即触底（再降一次 $p - q$ 就为 $0$ ），而 $p^2 - 2q^2$ 一路在 $+1$ 与 $-1$ 之间交替，绝对值始终是 $1$ 。递降的映射把这个差值取了相反数，所以非零的差值永远回不到 $0$ ——它把「无解」这件事变成了一条可以逐级核对的不变量。起点换成 $1393/985$ 时链长 $9$ 。

3 · 有理根定理

上面两条证明都只处理 $\sqrt 2$ 。要一次性覆盖 $\sqrt 3$ 、 $\sqrt 5$ 、 $\sqrt[3]{2}$ ，得换一件更通用的工具。

定理 3.1（有理根定理） 设整系数多项式 $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ （ $a_n \ne 0$ ， $a_0 \ne 0$ ）有有理根 $p/q$ ，其中 $\gcd(p, q) = 1$ 。则 $p \mid a_0$ 且 $q \mid a_n$ 。特别地，首一多项式（ $a_n = 1$ ）的有理根必为整数。

证明只需两次通分。把 $x = p/q$ 代入并乘以 $q^n$ ，得 $a_n p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \dots + a_0 q^n = 0$ 。除首项外每一项都含因子 $q$ ，故 $q \mid a_n p^n$ ；由 $\gcd(p, q) = 1$ 得 $q \mid a_n$ 。除末项外每一项都含因子 $p$ ，同理 $p \mid a_0$ 。∎

$\sqrt n$ 是首一多项式 $x^2 - n$ 的根，故它若是有理数就必是整数，即 $n$ 必为完全平方数。 $n$ 不是完全平方数时 $\sqrt n$ 无理，一句话覆盖全部情形； $1$ 到 $100$ 里完全平方数只有 $10$ 个，其余 $90$ 个数的平方根一律无理。同理 $x^3 - 2$ 的有理根只能是 $\pm 1$ 、 $\pm 2$ ，逐个代入都不为零，故 $\sqrt[3]{2}$ 无理。

候选表的实际用途是把搜索范围从无穷多个有理数压到有限个。 $2x^3 - 3x^2 - 8x + 12$ 的常数项 $12$ 有六个正因数、首项 $2$ 有两个，去重后候选共 $16$ 个；逐个用整数运算代入（rationalRoots 走的是 BigInt，不经浮点，免得 $10^{-16}$ 量级的残差被当成零），命中三个： $-2$ 、 $3/2$ 、 $2$ 。

4 · 代数数与超越数

定义 4.1（代数数与超越数） 若一个实数是某个非零整系数多项式的根，称它为代数数；否则称为超越数。

$\sqrt 2$ 是 $x^2 - 2$ 的根， $\sqrt[3]{2}$ 是 $x^3 - 2$ 的根，两者都是无理的代数数。有理数 $p/q$ 是 $qx - p$ 的根，也是代数数。 $e$ 与 $\pi$ 则不是任何整系数多项式的根：Hermite 于 1873 年证明 $e$ 超越，Lindemann 于 1882 年证明 $\pi$ 超越（后者顺带否掉了尺规化圆为方）。这两条本页只陈述结论。

第一个被证明的超越数不是 $e$ 也不是 $\pi$ ，而是 Liouville 于 1844 年显式写出来的一个数：

L = \sum_{n \ge 1} 10^{-n!} = 0.110001000000000000000001000\dots

小数点后只在第 $1$ 、 $2$ 、 $6$ 、 $24$ 、 $120$ 位上是 $1$ ，其余全为 $0$ ，下一个 $1$ 要等到第 $720$ 位。构造的用意在于制造「好得过分」的有理逼近：把 $L$ 截断到第 $k!$ 位，得到分母 $q = 10^{k!}$ 的分数，误差不超过下一项的两倍，即 $10^{-(k+1)!}$ 量级，也就是 $q^{-(k+1)}$ 。而代数数的逼近有硬上界——次数为 $d$ 的代数无理数与任何分母为 $q$ 的分数之间的距离都超过某个常数乘 $q^{-d}$ （Liouville 定理）。 $L$ 的逼近阶随 $k$ 无限增大，超过任何固定的 $d$ ，故它不可能是代数数。

对照 $\sqrt 2$ 就能看出「好得过分」的尺度。 $\sqrt 2$ 的连分数渐近分数 $1/1$ 、 $3/2$ 、 $7/5$ 、 $17/12$ 、 $41/29$ 、 $99/70$ 是它最好的有理逼近，误差量级恰是 $q^{-2}$ ：实测 $q^2 \cdot |p/q - \sqrt 2|$ 稳定收敛到 $1/(2\sqrt 2) = 0.353553390593$ ，不再往下走。二次代数数只能做到 $q^{-2}$ ，而 $L$ 的截断分数能做到 $q^{-6}$ 、 $q^{-7}$ ，要多少有多少。

警示 · 上一段那个 $0.353553390593$ 是换了算路才量准的。最初的实现直接算 p / q - Math.SQRT2，第八项之前两条算路一致，第十二项（ $19601/13860$ ）就偏到 $0.35355356$ ，第二十一项给出 $0.6621$ ，接近真值的两倍；到第二十二项 $131836323/93222358$ ，p / q 与 Math.SQRT2 已经是同一个 double，差值恰为 $0$ ，整个量塌成零。原因是两个都以 $1.41421356$ 开头的数相减，有效位被抵消掉。改用 Pell 方程给出的等价式 $q^2 |p/q - \sqrt 2| = 1/(p/q + \sqrt 2)$ 之后不再相减，全程稳定，单测把两条算路并列钉住，第二十二项那个 $0$ 也一并写进断言。

无理数之间还有一层「有多少」的差别：代数数与有理数一样是可数的，超越数则不可数，故数轴上几乎每一个点都是超越数。这条计数论证不在本系列展开，见基数：有限、可数无限与不可数。

5 · 参考文献

Square root of 2. Wikipedia. 无理性的多种证明，含奇偶反证与无穷递降。https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2
Proof by infinite descent. Wikipedia. 递降法的一般形式与它在数论中的用处。https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent
Rational root theorem. Wikipedia. 定理 3.1 的陈述、证明与推论。https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem
Liouville number. Wikipedia. Liouville 数的构造与第一例超越数。https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
Transcendental number. Wikipedia. 超越数的定义，以及 $e$ 与 $\pi$ 超越性的证明年代。https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number