规模计算 · |A| · ℵ₀

基数：有限、可数无限与不可数

集合的「大小」叫基数，记作 |A|。有限集的基数就是数元素个数；但无限集无法「数」，只能靠一一对应比较大小——能和自然数 ℕ 一一编号的叫可数（基数 $ℵ_0$ ），否则是不可数。本页先用两个有限集看清容斥，再看无限怎么比大小。

1 · 有限集：数个数，但别把重叠数两遍

finite · |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

求两集合并起来有多少元素，不能简单 |A| + |B|——重叠部分 $A \cap B$ 会被数两遍。减掉一次多算的，就是容斥原理： $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 。在下面输入 A、B（数字，逗号分隔），看等式两边始终相等。

2 · 无限集：与自己的一部分「一样多」

infinite · ℕ ~ 偶数 · 可数 ℵ₀

自然数 ℕ = {0, 1, 2, 3, …} 是无限集，元素个数无穷，但可以问它和别的无限集「谁更大」。看偶数集 E = {0, 2, 4, …}：它是 ℕ 的真子集（少了所有奇数），直觉上「更小」——可只要用 n ↦ 2n 把二者一一配对，不多不少、恰好对上，它们一样大。「能和真子集一一对应」正是无限集的特征。

不是所有无限都「一样大」。有理数 ℚ 也和 ℕ 一样是可数的（基数 $ℵ_0$ ）；但实数 ℝ 无法和 ℕ 一一对应——它是不可数的，是一个严格更大的无限。为什么？见实数系列里的 Cantor 对角论证。

3 · 相关链接

Cardinality — 用双射定义「一样大」，以及有限 / 可数 / 不可数三档。(en.wikipedia.org)
Inclusion–exclusion principle — 容斥原理，以及三个及以上集合时的加减交替展开。(en.wikipedia.org)
Hilbert's Grand Hotel —「满房的无限旅馆还能再住进客人」——可数无限反直觉性质的经典比喻。(en.wikipedia.org)