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数列 · 从通项到求和与归纳

把位置 n 看作自变量、aₙ 看作函数值，数列就是一个定义域为正整数集的函数——函数一章的单调性、有界性、最值可以逐字搬过来，只是自变量不再连续取值，图象也从一条曲线变成一列孤立的点。刻画一个数列有两条路：通项公式把 aₙ 直接写成 n 的表达式，递推公式给出首项与相邻项的关系。两者不总能互换，能互换的那一部分正是本系列要解开的。

前半是两族基本数列。等差看差、等比看比，两条定义各推出一个通项与一个求和公式；后者在 q = 1 处分母为零，这不是为严谨而加的脚注，而是公式在那一点上真的没有定义。后半是三类技巧：等差乘等比用错位相减，通项能拆成相邻两项之差的用裂项相消——判据都落在通项的结构上；形如 a(n+1) = p·a(n) + q 的递推借不动点平移成等比数列，而 p = 1 时不动点不存在，须退回等差。收尾是数学归纳法：奠基与递推两步把无穷多次验证压成两次，而「验证到 n 不等于证明」这件事有个现成的反例——n² + n + 41 在 n = 0 至 39 处全是素数，在 40 处等于 41²。

数列的概念与两族基本数列

数列作为定义在正整数集上的函数，以及等差、等比两族：定义只约束相邻两项，通项与前 n 项和都由它推出。等差的点共线、和是二次函数；等比的点沿指数曲线排布，|q| < 1 时前 n 项和收敛。

定义在正整数集上的函数

数列的概念与两种刻画

数列是定义在正整数集上的函数，图象为一列孤立的点。通项公式直接给出第 n 项，递推公式给出相邻项的关系；两者各有所长，能互相转化的只是其中一部分。

 公差 d · 高斯配对

等差数列与前 n 项和

相邻两项之差恒为公差 d，通项 a_n = a₁ + (n − 1)d，图象上的点共线。前 n 项和有两种等价写法，它作为 n 的函数是一个无常数项的二次函数。

 公比 q · q = 1 的单列

等比数列与前 n 项和

相邻两项之比恒为公比 q，各项与 q 均不为零，通项 a_n = a₁q^(n−1)。前 n 项和的公式在 q = 1 处分母为零须单列，|q| < 1 时全部项之和收敛到 a₁/(1 − q)。

两处不能合并的分情形

等比数列求和 Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) 在 q = 1 处分母为零，必须单列为 Sₙ = n·a₁；含参数的题目里「先讨论 q = 1」通常是第一步。数值实现上还多一处：q 贴近 1 时闭式虽有定义却算不准，分子分母同时趋于零，双精度下有效数字先后被吃掉。实测 a₁ = 1、n = 10、q = 1 + 1e-9 时闭式给出恰好的 10，而逐项累加给出 10.000000045——闭式在这一带静静地塌回了 q = 1 的答案。core/seq.ts 因此在 |q − 1| < 1e-8 时改走级数展开。 求和、递推与归纳

化归到等差等比的三种求和技巧，解开递推关系的不动点法，以及把无穷多次验证压成两步的数学归纳法。三者的共同点是判据明确：看通项的结构，看递推的形式，看奠基与递推步是否齐备。

错位相减 · 裂项相消

数列求和的几种常用方法

等差乘等比用错位相减，通项能拆成相邻两项之差的用裂项相消，正负交替或奇偶不同的用分组求和。三种方法各有一个可判定的适用判据。

 累加 · 累乘 · 不动点

递推数列与不动点法

a(n+1) − a(n) 已知用累加法，比值已知用累乘法。一阶线性递推 a(n+1) = p·a(n) + q 借不动点平移成等比数列，p = 1 时不动点不存在，须单列为等差。

 奠基 · 递推 · 起点

数学归纳法的两步与它的边界

归纳法由奠基与递推两步构成，缺一不可；归纳假设必须在递推步里真正用上。验证有限多个 n 不构成证明，n² + n + 41 在 n = 0 至 39 全为素数而在 40 处失效。

为什么「验证四十次」不算证明

欧拉多项式 f(n) = n² + n + 41 在 n = 0, 1, …, 39 处的取值全是素数（41, 43, 47, …, 1601），第四十一个值 f(40) = 1681 = 41² 是合数。连续四十次通过不构成任何证明，而数学归纳法只要两步：奠基给出第一块骨牌，递推保证每块都能推倒下一块。反过来也要留神——归纳法的两步中缺奠基步时，「n = n + 1」这个假命题同样满足递推步，链条完好而无处启动。

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