数列的概念与两种刻画

按次序排成一列的数叫做数列，第一个位置上的数是首项，第 $n$ 个位置上的数记作 $a_n$。次序是数列的要件：$1, 2, 3$ 与 $3, 2, 1$ 是两个不同的数列，而作为集合它们相等。数列也允许重复，$1, 1, 1, \dots$ 是一个合法的数列，对应的集合却只有一个元素。

1 · 数列作为函数

把位置 $n$ 看作自变量、$a_n$ 看作函数值，数列就是一个定义域为正整数集 $\mathbf{N}^*$ 的函数。这个视角把函数一章的全部工具接了过来：单调性、有界性、最值的定义逐字照搬，只是自变量不再连续取值。

图象因此不是一条曲线，而是一列孤立的点 $(n, a_n)$。点与点之间没有函数值，连线只是辅助阅读的视觉手段，不代表中间取值。$a_n = \frac{1}{n}$ 的图象是逐渐贴近横轴的一串点，它永不与横轴相交，也没有第 $1.5$ 项。

2 · 通项公式与递推公式

通项公式把 $a_n$ 直接写成 $n$ 的表达式，代入即得任意一项。递推公式给出首项与相邻项之间的关系，要得到 $a_{100}$ 就得从 $a_1$ 逐步算过去。

两种刻画不总能互换。斐波那契数列 $a_1 = a_2 = 1$、$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ 的通项公式存在（比内公式），但含无理数 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 的幂，用它算整数项反倒要处理舍入；而 $a_{n+1} = a_n^2 + 1$ 这类递推就没有初等的通项公式。反过来，$a_n = \frac{1}{n}$ 有通项而它的递推关系 $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n}$ 并不比通项好用。递推数列与不动点法 处理的是能互换的那一部分。

3 · 单调性与有界性

数列的单调性看相邻两项之差：$a_{n+1} - a_n > 0$ 对一切 $n$ 成立即递增。若各项同号，也可以看比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 与 $1$ 的大小。

有界性指存在一个 $M$ 使 $|a_n| \le M$ 对一切 $n$ 成立。$a_n = \frac{1}{n}$ 递减且有界（$M = 1$），$a_n = (-1)^n$ 不单调但有界，$a_n = n^2$ 递增而无界。三个例子说明单调与有界互不包含。

4 · 下标从 1 起与数组下标的错位

数列的下标从 $1$ 起，而 JavaScript 数组的下标从 $0$ 起，两者恒差一位。core/seq.ts 的取值函数 a(n) 按数学约定接受 $n \ge 1$，而 terms(s, n) 返回的数组第 $0$ 位存的是 $a_1$。这个错位是本系列实现里唯一的约定性风险——写错一位不会报错，只会让所有结论整体平移一项，而平移后的数列往往仍然「看起来对」。单测因此专门有一条钉住它：terms(arithmetic(5, 3), 4) 必须等于 [5, 8, 11, 14]，且 s.a(1) 必须是 5 而不是 8。

同样的错位出现在求和上。partialSums 返回的数组第 $0$ 位是 $S_1 = a_1$ 而不是 $S_0 = 0$：数列里没有第 $0$ 项，$S_0$ 只在推导 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 时作为约定出现，且那条式子本身在 $n = 1$ 处失效，须单独验证 $a_1 = S_1$。

5 · 参考文献

1. Sequence. Wikipedia. 数列的定义、下标约定与作为函数的表述。https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence
2. Recurrence relation. Wikipedia. 递推关系的定义，以及它与通项公式的关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation
3. Fibonacci sequence. Wikipedia. 斐波那契数列与比内公式。https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_sequence