等差数列与前 n 项和

从第二项起，每一项与它前一项之差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列，那个常数是公差 $d$。定义只约束相邻两项，通项与求和公式都由它推出。

1 · 通项公式与共线性

由 $a_{n+1} - a_n = d$ 逐项累加：$a_2 = a_1 + d$、$a_3 = a_1 + 2d$、……、$a_n = a_1 + (n-1)d$。加了 $n - 1$ 个 $d$，不是 $n$ 个，这个「少一」是等差数列最常见的错处。

通项是 $n$ 的一次式，故图象上的点 $(n, a_n)$ 全部落在同一条直线上，斜率即公差。$d > 0$ 时数列递增，$d < 0$ 时递减，$d = 0$ 时是常数列。反过来，$a_n = pn + r$ 形式的数列必为等差，公差是 $p$，首项是 $p + r$。

推广的通项形式在解题时更省力：$a_n = a_m + (n - m)d$ 对任意两个下标成立，于是 $d = \frac{a_n - a_m}{n - m}$——两项已知即可定出整条数列。

2 · 等差中项与下标对称

由通项的推广形式立得一条常用性质：若 $m + n = p + q$，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$。两边都等于 $2a_1 + (m + n - 2)d$，只依赖下标之和。取 $m = n$ 便回到中项：$2a_n = a_{n-k} + a_{n+k}$。

3 · 前 n 项和的两种写法

倒序相加是求和公式的来源：把 $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ 与倒着写的 $S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1$ 相加，配对后的每一组都等于 $a_1 + a_n$，共 $n$ 组，故

前一种写法在首末两项已知时最省事，后一种在首项与公差已知时直接可代。高斯把 $1$ 到 $100$ 求和的传说用的就是前一种：$50$ 组 $101$，得 $5050$。

4 · S_n 作为 n 的二次函数

把第二种写法按 $n$ 的幂整理：

这是一个常数项为零的二次函数（$d = 0$ 时退化成一次）。反过来也成立：若某数列的前 $n$ 项和能写成 $S_n = An^2 + Bn$，则它必为等差数列，且 $d = 2A$、$a_1 = A + B$。常数项这一条不能省——$S_n = n^2 + n + 1$ 对应的数列 $3, 4, 6, 8, \dots$ 从第二项起才等差，因为 $a_1 = S_1 = 3$ 与由 $S_n - S_{n-1} = 2n$ 给出的 $2$ 不符。

$S_n$ 是二次函数还带来一条现成结论：$d > 0$ 时抛物线开口向上，$S_n$ 存在最小值；$d < 0$ 时开口向下，$S_n$ 存在最大值。取到最值的位置在对称轴附近，但 $n$ 只能取正整数，故须比较对称轴两侧的整数点。另一种等价的判法是看 $a_n$ 的符号变化：所有非负项加完时 $S_n$ 最大。

5 · 参考文献

1. Arithmetic progression. Wikipedia. 等差数列的通项、求和与常用性质。https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression
2. Triangular number. Wikipedia. $1 + 2 + \dots + n$ 的闭式与高斯配对。https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number