成员关系 · ∈ ∉ ∅

属于与不属于：元素和集合的关系

集合(set)就是「若干互不相同、无先后次序的对象」，这些对象叫它的元素。关于集合最基本的一个问句是：某个元素 x 在不在集合 A 里？在，记 $x \in A$ （属于）；不在，记 $x \notin A$ （不属于）。本页从这条唯一的判据出发，顺带认识没有任何元素的空集 $\emptyset$ 。

集合由「哪些元素在里面」唯一确定：元素无序（{1, 2, 3} 与 {3, 1, 2} 是同一个集合）、互异（写两遍也只算一个，{1, 1, 2} 就是 {1, 2}）。所以刻画一个集合，等价于对每个候选元素回答一句「∈ 还是 ∉」。

1 · ∈ / ∉：输入集合 A，再测一个元素在不在里面

membership · x ∈ A / x ∉ A

在 A 框里输入它的成员（任意自然数，逗号或空格分隔），集合的外延 {…} 与基数 |A| 即时更新。再在 x 框里输入一个数测试——它在 A 里就是 x ∈ A（属于，该元素高亮），否则 x ∉ A（不属于）。

2 · 空集 ∅：一个元素都没有的集合

empty set · ∅ = { }

把 A 清空到一个元素都不剩（输入框留空），得到的就是空集 $\emptyset$ （也写作 { }）。它是唯一的：任何「没有元素」的集合都相等。对任何 x，都有 $x \notin \emptyset$ ——下面输入任意数测试一下，判定永远是「不属于」。

注意区分 $\emptyset$ 和 {∅}： $\emptyset$ 里没有元素，基数 0；而 {∅} 是一个装着空集的集合，里面有一个元素（那个元素恰好是 $\emptyset$ ），基数 1。这在幂集里会再见到——P(∅) = {∅}。

3 · 相关链接

Element (mathematics) (en.wikipedia.org)——元素与 $\in$ 记号的定义。
Empty set — ∅ (en.wikipedia.org)——空集的唯一性，以及「它是任何集合的子集」这一约定的由来。