数学 / 集合论 · 从 ∈ 到映射与量词 / 属于与不属于：元素和集合的关系 待审核 1 / 11
成员关系 · ∈  ∉  ∅\in \; \notin \; \emptyset

属于与不属于：元素和集合的关系

集合（set）是若干互不相同、无先后次序的对象合成的整体，这些对象叫它的元素。关于集合，最基本的问句只有一个：某个对象 xx 在不在集合 AA 里。在，记 x∈Ax \in A，读作 xx 属于 AA；不在，记 x∉Ax \notin A。本页从这条唯一的判据出发，末节转向没有任何元素的空集。

1 · 外延性与成员关系

membership · x∈Ax \in A / x∉Ax \notin A

集合由「哪些对象在里面」完全确定，这条约定叫外延性（extensionality）：两个集合相等，当且仅当它们含有相同的元素。它有两个直接推论。其一是无序——{1,2,3}\{1, 2, 3\} 与 {3,1,2}\{3, 1, 2\} 的成员关系逐个对象一致，故是同一个集合。其二是互异——写两遍不增加成员，{1,1,2}\{1, 1, 2\} 与 {1,2}\{1, 2\} 相等。

于是刻画一个集合，等价于对每个候选对象回答一句「属于还是不属于」。这也解释了为什么集合没有「第 3 个元素」这种说法：次序不在定义里，要谈次序得另造结构，例如有序对与笛卡尔积。

图 1-1 · 元素与集合的属于关系判定。可改集合的成员与待测对象，观察 ∈\in 与 ∉\notin 的判定，以及重复输入如何被并成一个。

「互异」这一条落到代码里就不再是自明的：它依赖一个判定「两个对象是否同一个」的相等谓词，而这个谓词的选择会改变集合的成员。JavaScript 的 Set 用的是 SameValueZero，它与两个常见谓词都不一致：new Set([NaN, NaN]).size 是 1，尽管 NaN === NaN 为假；new Set([0, -0]).size 也是 1，尽管 Object.is(0, -0) 为假，且取出来的那个元素是 0（实测于 node v26.6.0）。数学上的互异性把相等当作给定的，实现里它是一个要挑的参数。

2 · 空集 ∅\emptyset

empty set · ∅\emptyset · x∉∅x \notin \emptyset

把成员逐个去掉，直到一个不剩，得到的集合叫空集，记作 ∅\emptyset。它的定义性质是一条否定：对任何对象 xx 都有 x∉∅x \notin \emptyset，故 ∣∅∣=0|\emptyset| = 0。

空集是唯一的，这是外延性的推论：设 ∅1\emptyset_1 与 ∅2\emptyset_2 都没有元素，则「x∈∅1x \in \emptyset_1」与「x∈∅2x \in \emptyset_2」对每个 xx 同为假，成员关系一致，故两者相等。所以不存在「两个不同的空集」，只有一个。

图 2-1 · 空集的性质：对任何对象判定恒为不属于，且它是任何集合的子集。

警示 · ∅\emptyset 与 {∅}\{\emptyset\} 不是同一个集合，混淆这两者是本页最常见的错答。∅\emptyset 没有元素，∣∅∣=0|\emptyset| = 0；{∅}\{\emptyset\} 有一个元素，那个元素恰好是 ∅\emptyset，故 ∣{∅}∣=1|\{\emptyset\}| = 1。二者的成员关系不同：∅∈{∅}\emptyset \in \{\emptyset\} 为真，而 ∅∈∅\emptyset \in \emptyset 为假。同样要分开的是 ∈\in 与 ⊆\subseteq：∅⊆{∅}\emptyset \subseteq \{\emptyset\} 与 ∅∈{∅}\emptyset \in \{\emptyset\} 都成立，但成立的理由无关（见相等、子集与不相交）。幂集那一页会再遇到这个区别：P(∅)={∅}P(\emptyset) = \{\emptyset\}，一个空集的幂集有一个元素而非零个。

3 · 参考文献

  1. Set (mathematics). Wikipedia. 集合、元素与成员关系的基本约定。https://en.wikipedia.org/wiki/Set_(mathematics)
  2. Axiom of extensionality. Wikipedia. 外延性公理，以及集合由成员唯一确定这一结论。https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality
  3. Empty set. Wikipedia. 空集的性质与它的唯一性。https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_set
  4. SameValueZero. ECMA-262. Set 与 Map 判定键相同所用的相等谓词。https://tc39.es/ecma262/#sec-samevaluezero