集合关系 ·

= \; \subseteq \; \subsetneq \; \supseteq \; \supsetneq

相等、子集、真子集与不相交

成员关系看的是元素与集合之间的 $\in$ ，本页看集合与集合之间的关系。工具仍只有一件：逐元素比较。三条定义都由 $\in$ 直接写出，都可以「对每个元素查一遍」来判定。

1 · 包含与相等的定义

relations ·

= \; \subseteq \; \subsetneq

· disjoint

定义 1.1（子集、真子集、相等、不相交）若 $A$ 的每个元素都属于 $B$ ，即对任意 $x$ 有 $x \in A \Rightarrow x \in B$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的子集，记 $A \subseteq B$ 。若 $A \subseteq B$ 且 $A \ne B$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记 $A \subsetneq B$ 。若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ，则 $A = B$ 。若 $A \cap B = \emptyset$ ，则称二者不相交。

「相等 $\iff$ 互相包含」这一条值得单独看：它把一个等式拆成两个包含式，证明两个集合相等的标准套路由此而来：证两次包含。这是外延性在实用层面的样子，集合相等无法「一眼看出」，只能双向验。

$\subseteq$ 是自反且传递的： $A \subseteq A$ 恒成立； $A \subseteq B$ 与 $B \subseteq C$ 给出 $A \subseteq C$ 。但它不是全序——两个集合完全可以互不包含，例如 $\{1, 2\}$ 与 $\{2, 3\}$ ，谁也装不下谁。包含关系是偏序，这一点与实数的 $\le$ 不同，也是「集合之间不能问谁大谁小」的原因。

图 1-1 · 子集、真子集、相等、不相交等六种关系的判定与文氏图对照。可改两个集合的成员，观察六条判定分别何时成立。

2 · 两处易错的边界

edge cases ·

\emptyset \subseteq A

A \not\subsetneq A

警示 · $\emptyset \subseteq A$ 对任何 $A$ 恒成立，包括 $A = \emptyset$ 。理由不是「空集很小」，而是定义 1.1 的条件 $x \in \emptyset \Rightarrow x \in A$ 前件恒假，蕴含式随之恒真，这就是空集上的全称命题为真（vacuous truth，见集合推导与量词）。同一条推理还给出： $\emptyset$ 与任何集合都不相交，包括它自己。

另一处边界是自反性与严格性的差别： $A \subseteq A$ 恒成立，而 $A \subsetneq A$ 恒不成立，因为真子集的定义额外要求 $A \ne B$ 。把「子集」与「真子集」混用，最常见的后果是把 $A \subseteq B$ 误读成「 $B$ 比 $A$ 大」。

注 · 真子集的记号在文献里不统一，这是读别人材料时的实际障碍。 $\subsetneq$ 无歧义，一律指真子集； $\subset$ 则有两种读法——一派把它读作真子集（与 $<$ 类比），另一派把它读作一般子集（与 $\subseteq$ 同义，Halmos 与多数集合论文献取此义）。本系列统一写 $\subseteq$ 与 $\subsetneq$ ，不使用 $\subset$ 。这一处口径原先在本系列内部就没对齐：relations 页的 lab 用 ⊂ 表真子集，而 conditions 页的 lab 用 ⊊ 表同一关系，两页并读会以为是两种关系；现已统一为 ⊊。

3 · 参考文献

Subset. Wikipedia. 子集、真子集的定义，以及 $\subset$ 记号的两种约定。https://en.wikipedia.org/wiki/Subset
Vacuous truth. Wikipedia. 前件恒假的蕴含式为真， $\emptyset \subseteq A$ 的来源。https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuous_truth
Partially ordered set. Wikipedia. 偏序的定义，以及包含关系为何不是全序。https://en.wikipedia.org/wiki/Partially_ordered_set