命题：真假、联结词与四种命题

命题（proposition）是能判断真假的陈述句，非真即假。判据只有一条：它是否陈述了一件可定真假的事。疑问句与祈使句不陈述事实，含未定元的开语句赋值前也无真假，都不是命题。开语句即谓词，给变量代入具体对象或加上量词约束，它才成为命题。

1 · 命题的判定与真值

$x > 3$ 不是命题：$x$ 未定，无从判真假。代入 $x = 5$ 得 $5 > 3$，是真命题；代入 $x = 2$ 得假命题。加量词也一样奏效，$\exists x \in \mathbb{N},\ x > 3$ 是真命题。

要留意「无真假」与「真假未知」的区别。哥德巴赫猜想是命题，尽管至今没人知道它真还是假——命题性要求的是有确定真值，不是这个真值已被人类掌握。

2 · 联结词与集合运算的对应

联结词把命题拼成复合命题：$p \land q$（且，两者都成立）、$p \lor q$（或，至少一个成立）、$\neg p$（非，$p$ 不成立）。$\lor$ 取的是相容或，$p$ 与 $q$ 同真时 $p \lor q$ 仍为真，这与日常汉语「或者」常带的排他意味不同，排他的那个是对称差。

把开语句的真值集合摆出来，三个联结词逐一落在三种集合运算上：$p \land q$ 的真值集合是 $P \cap Q$，$p \lor q$ 的是 $P \cup Q$，$\neg p$ 的是 $P^c$。命题的 De Morgan 律 $\neg(p \land q) \iff \neg p \lor \neg q$ 与集合的 $(P \cap Q)^c = P^c \cup Q^c$ 是同一条定理的两种写法。

3 · 原命题与它的三个变形

由「若 $p$ 则 $q$」出发：交换条件与结论得逆命题「若 $q$ 则 $p$」，两者同时否定得否命题「若 $\neg p$ 则 $\neg q$」，两步都做得逆否命题「若 $\neg q$ 则 $\neg p$」。四者的真值不是独立的：原与逆否恒同真同假，逆与否恒同真同假，而原与逆之间没有任何关系。

用真值集合可以一眼看出前两条。原命题是 $P \subseteq Q$，逆否命题是 $Q^c \subseteq P^c$，而这两个包含式互为改写；逆与否同理。这也给出了证明技巧的依据：直接证 $P \subseteq Q$ 困难时，改证 $Q^c \subseteq P^c$ 是等价的，即反证法里的逆否证明。

取 $U = \{1, \dots, 8\}$，把 $P$、$Q$ 各跑遍全部 $256$ 个子集，$65536$ 个组合逐个算四个命题的真值，结果收得很紧：原与逆否真值不同的组合是 $0$ 个，逆与否也是 $0$ 个，而原与逆真值不同的有 $12610$ 个（$19.24\%$）。四位真值向量在 $16$ 种可能里只出现四种——$0000$ 有 $52670$ 组、$0110$ 与 $1001$ 各 $6305$ 组、$1111$ 有 $256$ 组，其余十二种一次都没出现。$1111$ 那 $256$ 组恰是 $P = Q$ 的情形，个数等于幂集的大小，因为四个命题同时为真当且仅当 $P \subseteq Q$ 与 $Q \subseteq P$ 同时成立。

4 · 参考文献

1. Proposition. Wikipedia. 命题的定义与真值。https://en.wikipedia.org/wiki/Proposition
2. Contraposition. Wikipedia. 逆否命题与原命题的等价性，以及它作为证明手段。https://en.wikipedia.org/wiki/Contraposition
3. Converse (logic). Wikipedia. 逆命题，以及「肯定逆命题」这一谬误。https://en.wikipedia.org/wiki/Converse_(logic)
4. Logical connective. Wikipedia. 联结词的真值表，含相容或与排他或的区别。https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_connective