垂直的判定与三垂线定理

垂直的判定与平行的判定形状相同：用有限条已知换一个对无穷多条直线成立的结论。差别在于代价——线面平行只需面内一条平行线，线面垂直需要两条相交直线，而少了「相交」这个前提，结论从「垂直」跌到「与平面成某个角」。本页给出两组判定，量出反例偏离多少，并把三垂线定理放回它所属的那条恒等式里。

1 · 线面垂直的定义与判定

定义要求验无穷多条直线，判定把它压到两条。

判定成立的道理在方向上：与两个不共线的方向都垂直的向量方向唯一，那就是平面的法向。平面内任一方向都是这两个方向的线性组合，与两者垂直即与它们的任何组合垂直。

2 · 前提失效时偏离多少

只垂直于面内一条直线，结论不成立，而「不成立」到什么程度可以量出来。取正方体的顶点 $A$ 为原点，考察过 $A$ 且方向为 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1}$ 的直线：它与 $AD$ 垂直，与底面成 $45°$。让底面内过 $A$ 的直线绕 $A$ 转一圈，它与这条直线的夹角在 $45°$ 与 $90°$ 之间连续扫过——实测 $360$ 个方向里最小偏离 $0°$（恰有一个方向仍是直角，那就是 $AD$），最大偏离 $45°$，而这个最大偏离恰等于该直线与底面所成的角。

这不是巧合：直线与平面所成的角定义为它与它在平面内的射影所成的角，而射影方向正是使夹角最小的那个方向。于是「与面内所有直线的夹角」这个集合的下界就是线面角，$90°$ 是它的上界。线面垂直等价于这个集合退化成单点 $\lbrace 90° \rbrace$。

3 · 三垂线定理

课本把它当独立定理记，实现里它却只是一条恒等式的特例。设 $PA$ 垂直于平面 $\alpha$ 于 $A$，斜线 $PO$ 交 $\alpha$ 于 $O$，$AO$ 是 $PO$ 在 $\alpha$ 内的射影，$l$ 是 $\alpha$ 内过 $O$ 的直线，则三个角满足

这是三面角的余弦公式。第三个因子与 $l$ 无关，故 $\cos\angle(l, AO)$ 与 $\cos\angle(l, PO)$ 同时为零，两个直角同时出现。同一条恒等式还给出一个副产品：$\cos\angle(PO, AO) \le 1$ 意味着 $\angle(l, AO) \le \angle(l, PO)$，即 $l$ 与射影的夹角总不大于它与斜线的夹角。

取 $P$ 在 $A$ 正上方 $2.3$、$O = (0.8, 0.6, 0)$，此时 $|AO| = 1$，斜线与底面成 $\arctan 2.3 = 66.50°$。以 $\theta$ 记 $l$ 与 $AB$ 的夹角：$\theta = 0°$ 时两个角是 $36.87°$ 与 $71.40°$，$\theta = 90°$ 时是 $53.13°$ 与 $76.16°$，$\theta = 126.87°$ 时同时到 $90°$。单测在 $180$ 个方向上逐个核对那条恒等式与「两个直角同时出现」，这也是本系列少数几处「课本的定理在实现里不是一段代码而是一条断言」的地方。

4 · 面面垂直的判定与性质

二面角是从一条直线出发的两个半平面组成的图形，它的大小由平面角度量：在棱上取一点，在两个半平面内各作一条垂直于棱的射线，两条射线的夹角即二面角。两个平面成直二面角时称它们垂直。

判定的强度值得留意：过一条垂线的平面有无穷多个，它们全都与原平面垂直。把这束平面按绕垂线的转角参数化，转一圈二面角始终是 $90°$。

性质定理的常见误用是漏掉「垂直于交线」：面内任取一条直线并不与另一平面垂直。实现上还有一处口径要分清——两个平面的夹角与二面角不是同一个量。前者由法向量夹角锐角化而得，取值 $[0°, 90°]$；后者可以是钝角。二面角为 $120°$ 的一对半平面，它们所在平面的夹角只有 $60°$，两个数都对，答的是不同的问题。shared/geom3d.ts 因此分别提供 planeAngle 与 dihedral 两个函数，前者只看法向量，后者要求给出两个半平面内各一点。

5 · 参考文献

1. Perpendicular. Wikipedia. 垂直的定义，含线面与面面垂直。https://en.wikipedia.org/wiki/Perpendicular
2. Dihedral angle. Wikipedia. 二面角及其平面角。https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_angle
3. Dihedral Angle. Wolfram MathWorld. 二面角的向量算法。https://mathworld.wolfram.com/DihedralAngle.html
4. Spherical law of cosines. Wikipedia. 三面角的余弦公式，三垂线定理的来源。https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_law_of_cosines
5. Normal (geometry). Wikipedia. 法向量与垂直关系的代数刻画。https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_(geometry)
6. Trihedron. Wikipedia. 三面角的构成。https://en.wikipedia.org/wiki/Trihedron