数学 / 立体几何初步 · 从直观图到判定定理 / 平行的判定与性质 待审核 4 / 5
线面与面面平行

平行的判定与性质

平行的判定定理都是同一种交易：用有限条已知，换一个对无穷多条直线成立的结论。线面平行只需面内一条平行线，面面平行只需面内两条相交的平行线。本页给出两组判定与性质，并把前提失效时的实际情形算出来。

1 · 直线与平面的三种关系

直线与平面的关系由两个量定：方向向量与法向量的内积 d⃗⋅n⃗\vec{d} \cdot \vec{n}，以及直线上一点到平面的距离。

关系 d⃗⋅n⃗\vec{d} \cdot \vec{n} 点到平面的距离 公共点个数
直线在平面内 00 00 无穷多
直线与平面平行 00 正 00
直线与平面相交 非零 与取点有关 11

前两行的内积都为零，靠距离区分。这个分工在判定定理里留下了痕迹：「平面外」这个前提管的正是第一行与第二行的分别，去掉它，结论就从「平行」滑到「在平面内」。

2 · 线面平行的判定与性质

定理 2.1（线面平行的判定） 若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

三个前提缺一不可：直线在平面外，参照的直线在平面内，两条直线平行。第一个前提被去掉时并不是「结论错了」，而是关系换了一档：直线落进平面，公共点从零个变成无穷多个。判定此时给出的是「前提失效」而不是「不平行」——把一条平行于底面的直线连续下移到底面上，关系在触底的那一刻从「平行」变成「在平面内」。

图 2-1 · 平行的四个配置：线面平行的判定、面面平行的判定、两条平行直线的反例、面面平行的性质。可调高度 t 与截面方向 θ 看前提失效时结论如何变化，也可旋转视角。

定理 2.2（线面平行的性质） 若一条直线与一个平面平行，且过这条直线的某个平面与该平面相交，则这条直线与交线平行。

性质定理的用途是「把线面平行换回线线平行」：证明两条直线平行时，中间过一道平面往往比直接找平行四边形短。

3 · 面面平行的判定与性质

定理 3.1（面面平行的判定） 若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。

「相交」这个前提是全部要害。两条相交直线给出两个不共线的方向，它们张成的方向恰是平面的方向；两条平行直线只给出一个方向，剩下的自由度没有被约束。

具体的反例可以在正方体里摆出来：取顶面的棱 A1B1A_1B_1，以及棱 DD1DD_1 与 CC1CC_1 上高度同为 tt 的两点连成的线段 PQPQ。两条直线都水平，故都平行于底面；两者同向，故互相平行。过它们的平面 γ\gamma 与底面的夹角是 arctan⁡(1−t)\arctan(1 - t)：t=0.5t = 0.5 时是 26.565°26.565°，t=0t = 0 时是 45°45°，只有 t=1t = 1（此时 γ\gamma 退化成顶面）才是 0°0°。判定拒绝给出结论，而实际关系是相交。

注 · t=1t = 1 时 γ\gamma 与底面确实平行，可判定仍然拒绝——两条直线依旧只是平行而不相交。这一档在实现里最容易读错：核验函数返回「不成立」说的是「这条判定给不出结论」，不是「结论不成立」。两件事因此分两栏报出，一栏给判定，一栏给由坐标直接算出的实际关系。

定理 3.2（面面平行的性质） 若两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线平行。

用一个竖直平面去截顶面与底面，交线的方向 θ\theta 转一圈，两条交线始终平行。这条性质与定理 2.2 是同一个模式：平行关系沿着「交线」这道桥从面传到线。

4 · 相交的两个平面画不出前后

画两个平面时遇到一个图形学上的老问题。填色要定先后，而按面的平均深度排序（画家算法）在两个面相交时失效：相交意味着一部分在前、一部分在后，一个排序键无论取什么值都覆盖不了。

正方体的两个对角截面 ABC1D1ABC_1D_1 与 A1B1CDA_1B_1CD 是这件事的极端例子。两者都过体心且互相对称，平均深度逐位相同（减掉旋转中心后都恰为 00），排序键根本分不出先后。实测在方位角 35°35°、俯仰角 22°22°、每单位 120120 像素的视图里，两片投影的重叠区有 42414241 个像素，其中 49.99%49.99\% 的真实前后关系与「先画哪一个」的决定相反——无论先画哪一个，都错一半。

本系列因此不给平面排序，改用低不透明度填充加描边：两个平面在重叠处都看得见，顺序不再影响判读。代价是失去了「谁在前」的直观，补偿是可旋转的视角与读数里的距离一栏。这个取舍写在 core/lab.css 的头注里，那两个数字写在 core/view.test.ts 里。

5 · 参考文献

  1. Parallel (geometry). Wikipedia. 平行的定义，含线面与面面平行。https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_(geometry)
  2. Playfair's axiom. Wikipedia. 平行公理的等价表述。https://en.wikipedia.org/wiki/Playfair%27s_axiom
  3. Line–plane intersection. Wikipedia. 直线与平面求交及平行的退化情形。https://en.wikipedia.org/wiki/Line%E2%80%93plane_intersection
  4. Painter's algorithm. Wikipedia. 按深度排序绘制，以及相交面上的失效。https://en.wikipedia.org/wiki/Painter%27s_algorithm
  5. Z-buffering. Wikipedia. 逐像素定深度，画家算法的替代。https://en.wikipedia.org/wiki/Z-buffering