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立体几何初步 · 从直观图到判定定理

立体几何的第一道门槛不在定理，在图。纸面只能承载投影，而投影会说谎：两条异面直线在图上可以交于一点，两个不平行的平面在图上可以看不出相交。所以这门课的判据一律不许「看图得出」，只许由定义与公理推出——公理 3（不共线的三点定一个平面）与公理 4（平行于同一条直线的两条直线互相平行）承担的正是这件事。

本系列的画板取正交投影（方位角与俯仰角两个自由度），理由与代价都写在 shared/geom3d.ts 的头注里：正交投影保平行、保中点、保比例，而透视会把平行线画成相交。立体几何的结论几乎全靠平行性，图上读到的信息不能与结论冲突。丢掉的深度感由旋转与「不可见的棱画虚线」补回来，后者需要按形体枚举背面，实现在 core/solid.ts。

五页分两组。前两页讲形体：结构与展开图（欧拉公式 V−E+F=2V - E + F = 2 是枚举是否自洽的第一道检验），表面积与体积（球与锥台在内）。后三页讲关系：异面直线的判定、所成角与距离；线面平行与面面平行；线面垂直、面面垂直与三垂线定理。判定定理的共同形状是「用有限条已知换一个对无穷多条直线成立的结论」，而它们的前提里那个「相交」二字一动就不成立：两条平行直线只给出一个方向，定不住一个平面。

形体与度量

柱、锥、台、球的顶点棱面枚举与直观图画法（含遮挡与展开图），以及表面积与体积。Cavalieri 原理把体积交给截面：只要每一层的截面面积对得上，体积就相等。

V − E + F = 2

空间几何体的结构与直观图

柱、锥、台、球由平面图形的平移、旋转与截取得到，顶点棱面的枚举可用欧拉公式 V − E + F = 2 自检。直观图取正交投影，两侧的面都背向观察者的棱画虚线；侧面铺平得展开图，而球面没有展开图。

 柱锥台与球

表面积与体积

柱、锥、台的侧面积由展开图给出，体积由 Cavalieri 原理交给截面：同底等高时锥占柱的三分之一，台占 (1 + k + k²)/3。球的表面积 4πr² 与体积 4πr³/3 与外切圆柱之比都是 2 : 3。

球面画不出展开图，而这与网格多细无关

柱、锥、台的侧面都能剪开铺平，球不能。判据是顶点处的面角之和：铺平要求它恰为 360°360°，而球面网格上处处不足——48×2448 \times 24 的经纬网格实测赤道顶点 359.0197°359.0197°、极点 359.2281°359.2281°。加细网格只能把亏损摊薄，摊不掉：全体顶点的角亏之和对任何闭凸多面体都恰为 720°720°（离散形式的 Gauss–Bonnet 定理），长方体是 8 个顶点各亏 90°90°，球面网格是上千个顶点各亏约 1°1°。core/solid.test.ts 把这条守恒律当作形体枚举的校验之一。 位置关系

两条直线、直线与平面、两个平面各自的位置关系分类，以及平行与垂直的判定与性质。异面直线所成的角由平移到相交而定，距离由公垂线段而定。

异面直线

点线面的位置关系与异面直线

四条基本事实定下平面的存在性与唯一性，两条直线因此只有相交、平行、异面三种关系。异面直线所成的角由平移到相交而定，取值 (0°, 90°]；距离由公垂线段给出。

 线面与面面平行

平行的判定与性质

线面平行的判定要求平面外的直线平行于面内一条直线，面面平行的判定要求一个平面内两条相交直线分别平行于另一平面。两处「相交」与「面外」的前提缺一不可，反例给出前提失效时的实际关系。

 线面与面面垂直

垂直的判定与三垂线定理

线面垂直的定义要求与平面内所有直线垂直，而判定只需两条相交直线；只垂直于一条不够。三垂线定理是三面角余弦公式在直角处的特例，面面垂直由二面角为直角刻画。

异面直线在图上「看起来相交」是常事

正交投影把两条不共面的直线压到同一张纸上，交点是投影的产物。在方位角与俯仰角各取 1°1° 的网格上（64440 组视角）实测：正方体的棱 ABAB 与棱 CC1CC_1 有 5.65% 的视角让两条投影交叉，而面对角线 AB1AB_1 与 BC1BC_1 高达 30.22%。近三分之一的视角都会给出一个假交点，所以「异面」这件事只能算不能看——本系列的判据一律取混合积是否为零。

相关链接

形体与展开图

度量

位置关系与画法