柱锥台与球

表面积与体积

侧面积的来路是展开图：侧面铺平之后是矩形、扇形或扇环，面积按平面图形算。体积的来路是截面：Cavalieri 原理把「等高处的截面面积」定为唯一依据，柱、锥、台、球的四个体积公式都从它推出。本页给出这些公式，并用两套与公式无关的数值方法核对它们。

1 · 侧面积与表面积

正棱锥的侧面是等腰三角形，它的高叫做斜高。斜高由棱锥的高与底面的边心距勾股而得，它不是侧棱：侧棱落在两个侧面的公共边上，斜高落在侧面的中线上，前者总比后者长。

形体	侧面积	体积	展开后的侧面
正 $n$ 棱柱	$c h$	$S h$	矩形
正 $n$ 棱锥	$\frac{1}{2} c h'$	$\frac{1}{3} S h$	$n$ 个三角形
正 $n$ 棱台	$\frac{1}{2}(c + c') h'$	$\frac{1}{3} h (S + \sqrt{S S'} + S')$	$n$ 个梯形
圆柱	$2\pi r h$	$\pi r^2 h$	矩形
圆锥	$\pi r l$	$\frac{1}{3} \pi r^2 h$	扇形
圆台	$\pi (r + r') l$	$\frac{1}{3} \pi h (r^2 + r r' + r'^2)$	扇环
球	$4 \pi r^2$	$\frac{4}{3} \pi r^3$	不可展

表里 $c$ 与 $c'$ 是上下底面的周长， $S$ 与 $S'$ 是上下底面的面积， $h'$ 是斜高， $l$ 是母线。圆锥的 $\pi r l$ 由展开图直接读出：侧面展成半径为 $l$ 、弧长为 $2\pi r$ 的扇形，面积是弧长与半径之积的一半。扇形的圆心角是 $2\pi r / l$ ， $r = 1$ 、 $h = 2$ 时它等于 $360° / \sqrt{5} = 160.997°$ ，并不是一个整齐的角。

警示 · 侧面积公式里的 $h'$ 是斜高而不是侧棱长。正四棱锥底面外接圆半径 $1.3$ 、高 $1.7$ 时斜高为 $\sqrt{1.7^2 + 0.919^2} = 1.933$ ，侧棱长为 $\sqrt{1.7^2 + 1.3^2} = 2.140$ ，两者相差约 $11\%$ ；代错的那一个会把侧面积一并抬高。

2 · Cavalieri 原理与分层切片

定理 2.1（Cavalieri 原理） 两个几何体夹在两个平行平面之间，若被平行于这两个平面的任意平面所截得的截面面积总相等，则它们的体积相等。

这条原理把体积算成一元积分：只要知道高度 $z$ 处的截面面积 $A(z)$ ，体积就是 $\int A(z) \, dz$ 。数值上取中点法，把 $[0, h]$ 切成 $n$ 层，每层用层中点处的截面面积乘层高。截面面积由形体的定义读出而不经体积公式：圆锥在高度 $z$ 处的半径是 $r(1 - z/h)$ （母线是直线），球在高度 $z$ 处的半径是 $\sqrt{r^2 - (z-r)^2}$ （勾股定理）。切片求和与闭式公式因此是两条独立的路，单测拿它们对表。

图 2-1 · 六种形体的表面积、体积与分层切片。可调半径、高与层数看切片求和向公式收敛，也可旋转视角观察每一层的截面。

3 · 柱锥台的体积比

同底等高时锥是柱的三分之一，台介于两者之间。设上下底面的相似比为 $k$ （棱台取外接圆半径之比，圆台取半径之比），台的体积占同底等高柱的

\frac{V_{台}}{V_{柱}} = \frac{1 + k + k^2}{3}

$k \to 0$ 时它退化成锥的 $\frac{1}{3}$ ， $k = 1$ 时退化成柱的 $1$ 。这个式子把三个公式串成一个：柱与锥不是两条独立的结论，而是台的两端。

例 3.1 上下底半径比 $k = 0.5$ 的圆台，体积是同底等高圆柱的 $\frac{1 + 0.5 + 0.25}{3} = 58.3\%$ 。取 $r = 1$ 、 $h = 1.5$ ：圆柱 $4.712$ ，圆台 $2.749$ ，圆锥 $1.571$ ，三者之比 $1 : 0.583 : 0.333$ 。

4 · 球面与球体

球的两个公式互为导数与原函数：把球体看成一层层同心薄壳，半径 $t$ 处的壳面积是 $4\pi t^2$ ，积到 $r$ 得 $\frac{4}{3}\pi r^3$ 。反过来对体积求导即得表面积，这也是「为什么球的表面积恰是 $4\pi r^2$ 而不是别的系数」的一个说法。

阿基米德给出的关系更漂亮：球与它的外切圆柱（底面半径 $r$ 、高 $2r$ ）的体积之比是 $2 : 3$ ，全表面积之比也是 $2 : 3$ 。圆柱的体积是 $2\pi r^3$ ，球是 $\frac{4}{3}\pi r^3$ ；圆柱的全表面积是 $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$ ，球是 $4\pi r^2$ 。这两个 $2 : 3$ 刻在他的墓碑上[2]。

5 · 两种数值参照的精度

单测用两套参照量核对体积公式，两者的收敛行为差得很远。

蒙特卡洛在外接长方体里均匀撒点，数落在形体内的比例。误差是随机量而不是收敛序列。原以为点数加十倍误差就稳降一档，实测（固定种子，单位球）否掉了这个说法： $10^3$ 点时相对偏差 $-0.6873\%$ ， $10^4$ 点时 $+1.0507\%$ 反而更差， $10^5$ 点 $-0.0361\%$ ， $10^6$ 点 $-0.1027\%$ 。期望值按 $N^{-1/2}$ 走，单次结果完全可以逆着走一档。

中点切片的偏差则是确定的、有向的。截面面积随高度是凸函数时中点法偏低（锥与台），凹函数时偏高（球），常数时逐位精确（柱）。相对偏差只由层数决定：

\text{锥} : \frac{1}{4n^2}, \qquad \text{球} : \frac{1}{2n^2}

$n = 8$ 时分别是 $0.3906\%$ 与 $0.7813\%$ ， $n = 200$ 时球的偏差降到 $0.00125\%$ 。这两个式子与半径、高度都无关： $r = 1.7$ 、 $h = 2.3$ 的圆锥与 $r = 0.3$ 、 $h = 11$ 的圆锥在 $8$ 层下的相对偏差都恰是 $1/256$ ，单测把它们对到小数第十二位。按这条规律，二十层切片的 $0.125\%$ 已与百万点撒点的 $0.1027\%$ 相当，两百层的 $0.00125\%$ 把后者甩开约八十倍，而撒点要追上这个水平约需 $10^{10}$ 个点。一维积分上确定性方法胜过随机方法，是维数低时的常态。

6 · 参考文献

Cavalieri's principle. Wikipedia. 等高处截面面积相等则体积相等。https://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle
On the Sphere and Cylinder. Wikipedia. 阿基米德的球与圆柱之比。https://en.wikipedia.org/wiki/On_the_Sphere_and_Cylinder
Frustum. Wolfram MathWorld. 台体的体积公式与推导。https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html
Riemann sum. Wikipedia. 中点法及其误差量级。https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum
Monte Carlo integration. Wikipedia. 撒点估体积与误差的平方根律。https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_integration
Surface area. Wikipedia. 曲面面积的定义与常见曲面的结果。https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area