异面直线

点线面的位置关系与异面直线

平面几何里两条直线只有相交与平行两种关系，空间里多出第三种：既不相交也不平行。这一种不能靠看图判断，投影会给出假的交点。本页从四条基本事实出发，把三种关系的判据钉成可计算的量，并给出异面直线的角与距离。

1 · 四条基本事实

立体几何的推理不依赖图，只依赖下面四条与它们的推论。前三条管平面的存在与唯一，第四条管平行的传递。

编号	内容	作用
1	过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面	平面的存在与唯一
2	若一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内	直线落入平面的判据
3	两个不重合的平面若有一个公共点，则有且只有一条过该点的公共直线	交线的存在与唯一
4	平行于同一条直线的两条直线互相平行	平行的传递性

基本事实 1 有三条常用推论：一条直线与直线外一点确定一个平面；两条相交直线确定一个平面；两条平行直线确定一个平面。三者都是「两个自由度」的不同说法，而这也解释了后面判定定理里反复出现的那个「相交」前提：两条相交直线给出两个不共线的方向，两条平行直线只给出一个。

基本事实 4 的一个推论是等角定理：空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。异面直线所成的角能有定义，靠的就是它。

2 · 两条直线的三种关系

定义 2.1（异面直线） 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

判据不看图而看两个量。设两条直线分别过点 $P_1$ 、 $P_2$ ，方向向量为 $\vec{d_1}$ 、 $\vec{d_2}$ ：

\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \vec{0} \;\Rightarrow\; \text{平行或重合}, \qquad (\overrightarrow{P_1P_2}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) \ne 0 \;\Rightarrow\; \text{异面}

第二个量是混合积，几何含义是四个点张成的平行六面体的体积：它为零即四点共面。容差得取相对量，混合积的量纲是长度的三次方，坐标放大十倍它就放大一千倍，拿绝对值当阈值会让同一组关系在换单位后改判。

3 · 异面直线所成的角

定义 3.1（异面直线所成的角） 过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角，取值 $(0°, 90°]$ 。

定义里的「任一点」由等角定理保证与取点无关。计算上不必真的平移：两条直线所成的角就是两个方向向量夹角的锐角化结果， $\min(\theta, 180° - \theta)$ 。取值不含 $0°$ 是因为夹角为零的两条直线平行，那已经不是异面。

例 3.2 单位正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中：棱 $AB$ 与棱 $B_1C_1$ 成 $90°$ ；棱 $AB$ 与面对角线 $A_1C_1$ 成 $45°$ ；两条面对角线 $AB_1$ 与 $BC_1$ 成 $60°$ ；体对角线 $AC_1$ 与棱 $AB$ 成 $\arccos(1/\sqrt{3}) = 54.7356°$ 。前三对异面，最后一对相交于 $A$ 。

图 3-1 · 正方体上任取两条直线，读数给出关系、混合积、所成角与距离。可调两个下拉框换直线，调方位角与俯仰角看同一对直线在不同视角下的投影。

4 · 公垂线段与距离

两条异面直线有且只有一条公垂线，公垂线夹在两条直线之间的那一段叫做公垂线段，它的长度就是两条异面直线的距离。计算上取最近点对：把两个参数化的点之间的距离平方对两个参数求极值，得到一个二元一次方程组，它的系数矩阵行列式是 $|\vec{d_1}|^2|\vec{d_2}|^2 - (\vec{d_1} \cdot \vec{d_2})^2$ 。这个行列式为零恰对应两条直线平行，此时最近点对不唯一：公垂线有无穷多条，实现返回空值而不是随便给一条。

距离也能由混合积直接得出， $d = |(\overrightarrow{P_1P_2}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})| / |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ 。单位正方体里棱 $AB$ 与棱 $CC_1$ 的距离是 $1$ ，公垂线段恰是棱 $BC$ ；体对角线 $AC_1$ 与棱 $BB_1$ 的距离是 $1/\sqrt{2} = 0.7071$ ，这一段不与任何棱重合。单测拿「两条直线上各取一串点求最小距离」核对这两个值。

5 · 投影里的假交点

正交投影把两条不共面的直线压到同一张纸上，图上的交点可能只是投影的产物。这件事的常见程度被实测量了一遍：在方位角 $0°$ 到 $359°$ 、俯仰角 $-89°$ 到 $89°$ 的 $1°$ 网格上（ $360 \times 179 = 64440$ 组视角），单位正方体的棱 $AB$ 与棱 $CC_1$ 有 $5.65\%$ 的视角让两条投影交叉；换成面对角线 $AB_1$ 与 $BC_1$ ，这个比例是 $30.22\%$ 。

原以为这是少数刁钻视角才出的事， $30\%$ 这个数字否掉了这个印象：近三分之一的视角都会给出一个假交点，而这一对恰是课本里最常出现的异面直线之一。图上的交叉与空间中的关系没有必然联系，所以本系列的每一处判定都走混合积，不走图。这两个比例写进了 core/view.test.ts，换机器可复现。

6 · 参考文献

Skew lines. Wikipedia. 异面直线的定义、所成角与公垂线。https://en.wikipedia.org/wiki/Skew_lines
Line–line distance. Wolfram MathWorld. 两条直线的距离与混合积公式。https://mathworld.wolfram.com/Line-LineDistance.html
Solid geometry. Wikipedia. 立体几何的基本对象与关系。https://en.wikipedia.org/wiki/Solid_geometry
Hilbert's axioms. Wikipedia. 结合公理的现代表述，与课本的四条基本事实对应。https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
Triple product. Wikipedia. 混合积与共面判据。https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product
Orthographic projection. Wikipedia. 正交投影及其保持的量。https://en.wikipedia.org/wiki/Orthographic_projection