角度与弧度：任意角与弧度制

要谈旋转与周期，先把角的定义放宽。任意角是一条射线绕原点旋转扫出的量：以 x 轴正方向为始边，逆时针旋转记为正角、顺时针旋转记为负角，转过的量可以超过一整圈（如 450°），也可以是负的（如 $-120°$）。旋转停下时射线所指的方向叫终边(terminal side)，它落在哪个象限(quadrant)，就是刻画这个角的关键信息。

1 · 任意角：旋转生成，由终边与象限刻画

拖动滑块改变旋转量，观察终边（红色）如何随之转动。橙色螺旋从始边出发，圈数越多说明转得越多；圆上的粗弧是终边扫过的弧。当旋转量落在 0° / 90° / 180° / 270° / 360° 等 90° 的整数倍时，终边落在坐标轴上，称为象限界角，此时不属于任何一个象限。

2 · 弧度制：用弧长度量角

度数把一整圈分成 360 份，是一个人为的约定。弧度制换一个更自然的尺子：弧长。规定 1 rad 为弧长恰好等于半径时所对的圆心角。半径为 r 的圆，整圈周长 ${2\pi r}$ 对应的圆心角是 ${2\pi rad}$，而整圈又是 360°，于是得到换算 ${2\pi rad = 360°}$，即 $\pi rad = 180°$、${1 rad = 180/\pi \approx 57.3°}$。一段弧所对的圆心角（弧度）乘以半径，就是弧长：s = rθ（θ 取弧度）。上图取 r = 1，此时弧长在数值上就等于弧度。

常见角的度数与弧度对照如下。记住前几个特殊角的弧度，其余可由 $\pi rad = 180°$ 成比例推得。