radian ·

\pi\ \mathrm{rad} = 180°

s = r\theta

角度与弧度：任意角与弧度制

要谈旋转与周期，先把角的定义放宽。任意角是一条射线绕原点旋转扫出的量：以 $x$ 轴正方向为始边，逆时针旋转记为正角、顺时针旋转记为负角，转过的量可以超过一整圈（如 $450°$ ），也可以是负的（如 $-120°$ ）。旋转停下时射线所指的方向叫终边 (terminal side)，它落在哪个象限 (quadrant)，就是刻画这个角的关键信息。

1 · 终边与象限

终边落在哪个象限，决定了这个角的全部三角函数值的符号（见单位圆与三角函数定义 §2），所以象限是任意角最先要读出的信息。当旋转量落在 $0°$ 、 $90°$ 、 $180°$ 、 $270°$ 、 $360°$ 等 $90°$ 的整数倍时，终边落在坐标轴上，称为象限界角，此时不属于任何一个象限。

图 1-1 · 任意角的旋转量与终边位置，橙色螺旋的圈数即转过的整圈数，圆上的粗弧是终边扫过的弧。可拖动滑块改变旋转量，观察终边如何随之转动以及它落在哪个象限。

注 · 同一条终边对应无穷多个角，它们相差 $360°$ 的整数倍，这组角写作 $\{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 360°,\ k \in \mathbb{Z}\}$ 。例如 $30°$ 、 $390°$ 、 $-330°$ 的终边完全重合，称为终边相同的角。

2 · 弧度制：用弧长度量角

度数把一整圈分成 360 份，是一个人为的约定。弧度制换一个更自然的尺子：弧长。规定 $1\ \mathrm{rad}$ 为弧长恰好等于半径时所对的圆心角。半径为 $r$ 的圆，整圈周长 $2\pi r$ 对应的圆心角是 $2\pi\ \mathrm{rad}$ ，而整圈又是 $360°$ ，于是得到换算 $2\pi\ \mathrm{rad} = 360°$ ，即 $\pi\ \mathrm{rad} = 180°$ 、 $1\ \mathrm{rad} = 180/\pi \approx 57.3°$ 。一段弧所对的圆心角（弧度）乘以半径，就是弧长： $s = r\theta$ ，其中 $\theta$ 取弧度。图 1-1 取 $r = 1$ ，此时弧长在数值上就等于弧度。

\pi\ \mathrm{rad} = 180° \implies 1\ \mathrm{rad} = \frac{180°}{\pi} \approx 57.3°

常见角的度数与弧度对照如下。记住前几个特殊角的弧度，其余可由 $\pi\ \mathrm{rad} = 180°$ 成比例推得。

表 2-1 · 特殊角的度数与弧度对照。
角	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
弧度	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

3 · 参考文献

Angle. Wikipedia. 角的度量、正负方向与终边相同的角。https://en.wikipedia.org/wiki/Angle
Radian. Wikipedia. 弧度的定义、与度的换算及弧长公式 $s = r\theta$ 。https://en.wikipedia.org/wiki/Radian
Circular sector. Wikipedia. 扇形的弧长与面积在弧度制下的表达。https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_sector