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三角函数 · 从角到波

初中的角限于 0° 到 180°，是两条边夹出的静态图形。要谈旋转、谈周期运动，先把角的定义放宽：任意角是一条射线绕原点旋转生成的量，逆时针转记正角、顺时针转记负角，转过一整圈还能接着转，于是有了 450°、−120° 这样的角。它落在哪个象限、终边(terminal side)指向何方，才是这一阶段真正关心的。

角有了新的度量方式——弧度制：用终边扫过的弧长来量角，1 rad 就是弧长恰好等于半径时所对的圆心角。换算只有一条：π rad = 180°。把角放到半径为 1 的单位圆上，终边与圆的交点坐标 (cos θ, sin θ) 直接定义了正弦与余弦；让角连续旋转、把纵坐标随角展开成横轴，就得到 y = sin x 的波形。三页顺着「角的度量 → 单位圆定义 → 曲线」逐步展开，每页都可拖动参数即时观察。

角与弧度 · 度量

先把角从静态图形推广成旋转生成的任意角，再引入弧度制：用弧长度量角，得到 π rad = 180° 与弧长公式 s = rθ。这是后面一切定义与公式的地基。

radian · π rad = 180° · s = rθ

角度与弧度：任意角与弧度制

任意角是射线绕原点旋转扫出的量：逆时针为正、顺时针为负，可超过 360°，由终边所在象限刻画。弧度制改用弧长量角——1 rad 是弧长等于半径时的圆心角，换算 π rad = 180°、1 rad ≈ 57.3°，弧长 s = rθ。拖动旋转量，看终边与弧同步变化，读数同时给出度与弧度（π 的分数形式）、象限和弧长。

为什么要引入弧度制

弧度不是给角换个单位那么简单：它把「角」与「弧长」用同一把尺子对齐，于是弧长写成 s = rθ、扇形面积写成 S = ½r²θ，都不再附带 π/180 的换算因子。更关键的是，只有在弧度制下才有 (sin x)′ = cos x 这样干净的微积分结论——用度数会平白多出一个常数。可以说，弧度制是让三角公式退到最简的那个约定。 三角函数 · 定义与图象

把角放到单位圆上，交点坐标 (cos θ, sin θ) 给出正弦、余弦、正切的统一定义；再让角连续旋转，把坐标随角展开成横轴，便得到正弦与余弦曲线，进而看清振幅、周期与相位。

unit circle · (cos θ, sin θ) · tan = y/x

单位圆与三角函数定义

在半径为 1 的单位圆上，终边与圆的交点坐标恰好是 (cos θ, sin θ)，而 tan θ = sin θ / cos θ = y/x。拖动 θ，把 cos θ 投影到 x 轴、sin θ 投影到 y 轴成两条有向线段，读数给出三个函数的数值与符号，并归纳它们在四象限的正负规律。

 y = A·sin(ωx + φ) · T = 2π/ω

正弦与余弦曲线

让单位圆上的点连续旋转，把它的纵坐标随角展开到横轴，就得到 y = sin x；取横坐标则得 y = cos x。再引入三个参数：振幅 A 定值域 [-A, A]、角频率 ω 定周期 T = 2π /ω、相位 φ 定左右平移。拖动 A / ω / φ，实时看曲线如何伸缩与平移，并标出周期、振幅与对称轴。

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