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unit circle · (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) · tan⁡θ=y/x\tan\theta = y/x

单位圆与三角函数定义

有了任意角与弧度，就能把角放到一个半径为 11 的圆上统一定义三角函数。以原点为圆心、半径为 11 的圆叫单位圆 (unit circle)。角 θ\theta 的终边与单位圆交于一点 PP，规定 PP 的坐标就是 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)——横坐标为余弦、纵坐标为正弦。正切则由两者相除给出：tan⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ=y/x\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta = y/x，当 x=0x = 0（终边落在 yy 轴）时无意义。

1 · 交点坐标与两条投影

把 PP 向 xx 轴投影得到的有向线段长度与方向就是 cos⁡θ\cos\theta，向 yy 轴方向的有向线段就是 sin⁡θ\sin\theta。两条投影随象限改变正负：终边指向左半平面时 cos⁡θ\cos\theta 为负，指向下半平面时 sin⁡θ\sin\theta 为负。

图 1-1 · 终边与单位圆的交点 PP，以及它在两条坐标轴上的有向投影，紫色为 cos⁡θ\cos\theta、绿色为 sin⁡θ\sin\theta。可拖动 θ\theta 观察两条投影的长度与正负如何随象限改变。

2 · 四象限里的符号

sin⁡θ\sin\theta、cos⁡θ\cos\theta、tan⁡θ\tan\theta 的正负只取决于终边所在的象限，与具体角度无关。规律由坐标的符号直接推出：cos⁡θ\cos\theta 的符号跟随 xx，sin⁡θ\sin\theta 跟随 yy，tan⁡θ=y/x\tan\theta = y/x 则在 xx、yy 同号时为正。

图 2-1 · 正弦、余弦与正切在四个象限里的正负一览。可拖动 θ\theta，表格高亮当前终边所在的象限。

注 · 一句口诀概括：从第一象限起逆时针，全部为正、只有正弦为正、只有正切为正、只有余弦为正。象限界角（终边落在坐标轴上）是分界，此时某个函数为 00 或无意义，不计入任何象限。

3 · 参考文献

  1. Unit circle. Wikipedia. 单位圆上交点坐标与三角函数的定义。https://en.wikipedia.org/wiki/Unit_circle
  2. Trigonometric functions. Wikipedia. 正弦、余弦、正切的定义与定义域。https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions
  3. All Students Take Calculus. Wolfram MathWorld. 四象限符号规律的助记方式。https://mathworld.wolfram.com/Trigonometry.html